數(shù)形結(jié)合 確定直線條數(shù)

對于直線與封閉曲線如圓、橢圓只有一個公共點(diǎn)的問題，一般可采取把直線方程代入曲線方程，利用根的判別式Δ=0來考慮.但對于雙曲線和拋物線而言，一個公共點(diǎn)的情況要考慮全面，除上面的情況外，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，只有一個交點(diǎn)；當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時，只有一個交點(diǎn).下面以雙曲線為例，利用數(shù)形結(jié)合法談一談過一點(diǎn)與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn)的直線的條數(shù)問題.

例 已知雙曲線C：x29-y216=1，過點(diǎn)P(3，3)作直線l，使l與C有且只有一個公共點(diǎn)，則滿足條件的直線l共有（ ）.

A1條

B2條

C3條

D4條

解析 易知雙曲線的焦點(diǎn)F1(-5，0)，F(xiàn)2(5，0)，頂點(diǎn)A(3，0)，漸近線為y=±43x，先確定P點(diǎn)的位置，易得過P點(diǎn)與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn)的直線中，有兩條和雙曲線的漸近線分別平行的直線(圖1)，有兩條雙曲線右支的切線(圖2)，共4條，選D.

圖 1

圖 2

為了加深對此類問題的理解，我們可以把此題的條件做一些改變，從多角度、多方位再進(jìn)行思考，力求達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果.如我們可以改變P點(diǎn)的位置(圖略)：

變式1 將P(3，3)改為P(3，0)，其他條件不變，則滿足條件的直線l共有幾條？

解析 點(diǎn)P與頂點(diǎn)A重合，即在雙曲線的右支上，滿足條件的直線有兩條和雙曲線的漸近線分別平行的直線，一條與右支相切的直線，共3條.

變式2 將P(3，3)改為P(0，4)，其他條件不變，則滿足條件的直線l共有幾條？

解析 點(diǎn)P在y軸上，滿足條件的直線有兩條和雙曲線的漸近線分別平行的直線，兩條分別與左、右兩支曲線相切的直線，共4條.

變式3 將P(3，3)改為P(3，4)，其他條件不變，則滿足條件的直線l共有幾條？

解析 點(diǎn)P在雙曲線的漸近線上，滿足條件的直線有一條和雙曲線的漸近線平行的直線，一條與右支相切的直線x=3，共2條.

變式4 將P(3，3)改為P(5，1)，其他條件不變，則滿足條件的直線l共有幾條？

解析 點(diǎn)P在雙曲線右支的右側(cè)，滿足條件的直線只有兩條和雙曲線的漸近線分別平行的直線，共2條.

經(jīng)過上面的變式練習(xí)可知，解決過一點(diǎn)P與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn)的直線的條數(shù)問題，應(yīng)該先確定點(diǎn)P的位置，進(jìn)而再通過圖形分析與雙曲線的兩條漸近線平行的直線的條數(shù)和與雙曲線的左、右兩支分別相切的直線的條數(shù).當(dāng)然，大家還可以進(jìn)一步引申變換，真正做到通過一個問題學(xué)會解決一類問題，培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性.