二重積分的計算方法研究
2012-04-29 00:00:00范梅
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2012年3期
【摘要】在高等數(shù)學(xué)中，二重積分的計算是一個難點，一些重要的計算技巧，它的關(guān)鍵是通過二重積分的性質(zhì)和被積函數(shù)的特殊性，將不同的類型的題目分類來找到相關(guān)的解題思路，從而將不易求出的二重積分求出的方法.
【關(guān)鍵詞】二重積分
在高等數(shù)學(xué)中，二重積分的計算是一個難點，要從二重積分的性質(zhì)、幾何意義、被積函數(shù)的特征等各個方面研究，可以找到解決問題的辦法.
一、交換積分次序
先依給定的積分次序?qū)懗龇e分域D的不等式，并畫D的草圖，再確定交換積分次序后的積分限.
例1 計算積分∫10dx∫1x2xy1+y3dy.
解 交換積分順序.
原式=∫10y1+y3dy∫y0xdx
=12∫10y21+y3dy
=16∫10d(1+y3)1+y3
=13(2-1).
二、注意利用對稱性質(zhì)，以便簡化計算
例2 計算x2+y2≤a2(x2-2x+3y+2)dσ.
解 積分域是圓x2+y2≤a2，故關(guān)于x軸、y軸、直線y=x對稱，故將被積函數(shù)分項積分:
x2+y2≤a2(-2x+3y)dσ=0.
而x2+y2≤a2x2dσ
=x2+y2≤a2y2dσ
=12x2+y2≤a2(x2+y2)dσ12
=x2+y2≤a2(x2+y2)dσ=πa44.
又 x2+y2≤a22dσ=2πa2=2πa2，∴原式=πa44+2πa2.
三、如被積函數(shù)的積分域為圓域、扇形域、圓環(huán)域時，則用極坐標計算
例3 計算二重積分D(x+y)dxdy，其中D：x2+y2≤2x.
解 用極坐標、對稱性來解決.
原式=2∫π20dθ∫2cosθ0rcosθ#8226;rdr
=2∫π20cosθdθ∫2cosθ0r2dr
=23∫π20cosθ#8226;(r3)2cosθ0dθ
=163∫π20cosθ#8226;cos3θdθ
=163∫π20cos4θdθ
=163#8226;34#8226;12#8226;π2=π.
四、被積函數(shù)中含有絕對值符號時，應(yīng)將積分域分割成幾個子域，使被積函數(shù)在每個子域中保持同一符號，以消除被積函數(shù)中的絕對值符號
例4 計算二重積分D|x2+y2-1|dσ，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}.
解 將D分成D1與D2兩部分.
D|x2+y2-1|dσ
=D 1(1-x2-y2)dσ+D 2(x2+y2-1)dσ.
由于D 1(1-x2-y2)dσ=∫π20dθ∫10(1-r2)rdr=π8，
D 2(x2+y2-1)dσ=∫10dx∫11-x2(x2+y2-1)dy，
D 2(x2+y2-1)dσ
=∫10dx∫11-x2(x2+y2-1)dy
=∫10x2y+y33-y′1-x2dx
=∫10x2-23+23(1-x2)32dx
=∫10x2-23dx+23∫10(1-x2)32dx
=-13+23I=π8-13，
I=∫10(1-x2)32dx，
x=sint=∫π20cos4tdt=34#8226;12#8226;π2=3π16，
∴D|x2+y2-1|dσ=π8+π8-13=π4-13.
通過以上例子，可以看出求二重積分是從二重積分的性質(zhì)、幾何意義、被積函數(shù)的特征等各個方面研究，找到解決問題的辦法.
【參考文獻】
李林曙，黎詣遠.微積分.北京:高等教育出版社，2005.
