課堂上離不開講解題目,因?yàn)轭}目是數(shù)學(xué)思維和知識(shí)的載體,題目講得多并不是高效課堂的衡量標(biāo)準(zhǔn),真正的高效是在于通過問題的解決獲得了發(fā)展.題目不在多,一題足以.
問題 點(diǎn)A是圓C上的定點(diǎn),點(diǎn)B是圓C上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P滿足OP=12(OA+OB),當(dāng)點(diǎn)B在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P的軌跡是什么圖形?
(1)繪制圖形,理解題意
可見,點(diǎn)P是圓C的弦AB的中點(diǎn).
這就是條件“點(diǎn)P滿足OP=12(OA+OB)”的本質(zhì).
(2)化歸問題
點(diǎn)A是圓C上的定點(diǎn),點(diǎn)B是圓C上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)B在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),弦AB的中點(diǎn)P的軌跡是什么圖形?
(3)進(jìn)一步化歸
復(fù)雜化簡(jiǎn)單,模糊化清晰,困難化容易.
此問題與圓的位置、大小無(wú)關(guān),因此,可以把圓C畫成單位圓.
問題可化歸為:
設(shè)A(1,0).當(dāng)點(diǎn)B在單位圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí),指出線段AB的中點(diǎn)P的軌跡是什么圖形?
(4)如何探究點(diǎn)的軌跡
思維出發(fā)點(diǎn)(如何思考)有二:一是,找出動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)所滿足的不變的(幾何)約束條件;二是,找出引起動(dòng)點(diǎn)變動(dòng)的原因.
思路一 聯(lián)系平面幾何的知識(shí),連接OP.于是,有OP⊥AP.
因此,在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí),始終滿足不變的條件:OP⊥AP.
可見,點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)A為直徑的圓.
思路二 設(shè)B(x0,y0),P(x,y).
又 A(1,0),于是x=12(x0+1),y=y(tǒng)02,
即x0=2x-1,y0=2y.
因?yàn)辄c(diǎn)B在單位圓上,于是x20+y20=1.
把x0=2x-1,y0=2y代入上式,得
(2x-1)2+4y2=1,即x-122+y2=14.
這個(gè)方程表示以12,0為圓心,12為半徑的圓.
題目不在于多,在于通過問題的解決獲得了什么發(fā)展.發(fā)揮一道題的教育作用,教會(huì)學(xué)生解題,教會(huì)學(xué)生思考.如果能夠用幾何畫板演示,效果更好.