淺議《代數(shù)式》教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法

【摘要】隨著新課改的不斷實(shí)施，數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域中的地位逐日提高，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有計劃、有意識、有步驟地滲透一些數(shù)學(xué)思想方法，是體現(xiàn)義務(wù)教育性質(zhì)，落實(shí)課程目標(biāo)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要舉措.

【關(guān)鍵詞】代數(shù)式；數(shù)學(xué)思想；教學(xué)

新《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》突出強(qiáng)調(diào)：“在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)好概念的基礎(chǔ)上掌握數(shù)學(xué)的規(guī)律（包括法則、性質(zhì)、公式、公理、定理、數(shù)學(xué)思想和方法）.”所謂數(shù)學(xué)思想，是指人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中提煉出的一些觀點(diǎn).它揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中普遍的規(guī)律，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動，這是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識.初中數(shù)學(xué)思想方法教育，是培養(yǎng)和提高學(xué)生素質(zhì)的重要內(nèi)容.因此，開展數(shù)學(xué)思想方法教育應(yīng)作為新課改中所必須把握的教學(xué)要求.

初中數(shù)學(xué)整套教材涉及的數(shù)學(xué)思想三十多種，下面以浙教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材七年級上冊第四章《代數(shù)式》為例，對本章所牽涉的數(shù)學(xué)思想作一個總結(jié)，供大家參考.

一、用字母表示數(shù)的思想

用字母表示數(shù)的思想，是基本的數(shù)學(xué)思想之一，本章《§4.1 用字母表示數(shù)》中，從引入的兒歌“一只青蛙，一張嘴，兩只眼睛四條腿……n只青蛙……”到用字母表示的代數(shù)式、文字表述題、實(shí)際應(yīng)用題等等，都體現(xiàn)了這種思想.

例1 設(shè)甲數(shù)為a，乙數(shù)為b，用代數(shù)式表示：

（1）甲乙兩數(shù)的和的2倍：2(a+b)；(2)甲數(shù)的13與乙數(shù)的12的差：13a-12b.

再如，今年李華a歲，比李陽小1歲，5年后李陽是歲.

從特殊的、具體的、確定的數(shù)到一般的、抽象的字母或者含有字母的代數(shù)式，這是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一大飛躍.“用字母表示數(shù)”掌握的好壞直接關(guān)系到列代數(shù)式、代數(shù)式的運(yùn)算、列方程解應(yīng)用題等內(nèi)容的學(xué)習(xí).但由于學(xué)生初次接觸，較難掌握，在教學(xué)中要逐步引導(dǎo)過關(guān)，不能操之過急.

二、數(shù)形結(jié)合的思想

“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解決許多數(shù)學(xué)問題的有效思想.本章中很多內(nèi)容都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，尤其是利用數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)的關(guān)系來解決有關(guān)代數(shù)式的問題，主要有：

（1）利用數(shù)軸進(jìn)行有理數(shù)大小比較.

（2）利用數(shù)軸進(jìn)行兩點(diǎn)之間距離的計算.

（3）利用數(shù)軸計算有理數(shù)加減法.

（4）利用數(shù)軸進(jìn)行代數(shù)式化簡.

例2 已知：實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示.試化簡：|a+c|-|a-c|-|2b-a|.

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前面三個題型在教材七（上）第一章和第三章中應(yīng)用較多，這里著重說一下利用數(shù)軸進(jìn)行代數(shù)式化簡的題型.例2強(qiáng)調(diào)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，從圖像中獲得信息，然后確定絕對值的去法，將絕對值化成括號的基礎(chǔ)上再將代數(shù)式進(jìn)行化簡，這樣一層層的由簡到繁，借助數(shù)軸使之直觀化、形象化、簡單化，使學(xué)生容易接受.

三、整體代換思想

在研究問題的過程中，不是從問題的某個局部入手，而是將問題看作一個完整的整體，把注意力和著眼點(diǎn)放在問題的整體結(jié)構(gòu)上，通過研究整體形式、整體結(jié)構(gòu)或整體處理，以達(dá)到順利而簡潔地解決問題的目的.這就是整體思想.

例3 （1）當(dāng)代數(shù)式a+b的值為3時，代數(shù)式2a+3b+1的值是多少？

（2）已知代數(shù)式x2+3x+5的值等于－7，則代數(shù)式3x2+9x-3的值是多少?

以上兩小題均采用了整體代入思想，在掌握了第（1）題的求解方法的基礎(chǔ)上再求解第（2）題就顯得簡單容易.作為整體思想，對剛進(jìn)入中學(xué)的七年級學(xué)生來說是一個新接觸的內(nèi)容，所以這方面的內(nèi)容是一個難點(diǎn)，平時要加強(qiáng)練習(xí).

四、轉(zhuǎn)化（化歸）思想

在整個初中數(shù)學(xué)中，轉(zhuǎn)化（化歸）思想一直貫穿其中.轉(zhuǎn)化思想是把一個未知（待解決）的問題化為已解決的或易于解決的問題來解決，它是數(shù)學(xué)基本思想方法之一.

例4 班級內(nèi)的每一名學(xué)生都要和其他同學(xué)握一次手，那要握多少次手呢?

這個問題比較貼近學(xué)生的生活實(shí)際，符合七年級學(xué)生的年齡特點(diǎn)，學(xué)生參與積極性高.在此基礎(chǔ)上繼續(xù)引出問題：如果有n個人的話，那又要握幾次手?在學(xué)生回答n(n-1)2之后，讓學(xué)生總結(jié)，生活中很多實(shí)際問題和握手問題有異曲同工之妙，例如比賽中的單循環(huán)比賽以及數(shù)線段條數(shù)、角的個數(shù)等等.

五、分類討論思想

分類討論思想體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不同階段，剛開始學(xué)習(xí)有理數(shù)和實(shí)數(shù)時就融有大量的分類討論單位問題.在學(xué)習(xí)“代數(shù)式”中有關(guān)整式的知識后，對單項(xiàng)式和多項(xiàng)式根據(jù)特點(diǎn)進(jìn)行合理歸類，尤其是那些不是整式的代數(shù)式，更加要引起注意.

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例5 下面代數(shù)式中哪些是單項(xiàng)式，哪些是多項(xiàng)式，哪些是整式？

32ab，3x，πr2，-ab+a+b+2，x-1，3+x2，-mn3.

代數(shù)式的應(yīng)用題教學(xué)是一個難點(diǎn)，針對七年級學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，采用了由易到難，循環(huán)上升的方法.

例6 某地出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:3公里以內(nèi)(含3公里)收費(fèi)10元，超過3公里的部分每公里收費(fèi)2元(不足1公里的以1公里計算).

(1)如果乘坐出租車回家行駛了4.1公里，應(yīng)付多少車費(fèi)?

(2)若乘坐n公里(n為整數(shù))，請用代數(shù)式表示應(yīng)付多少車費(fèi).

(3)學(xué)校離小明家6.2公里，而小明口袋里只有17元錢，小明付了車費(fèi)還有多余的錢嗎？如果不夠用的話小明還要走多遠(yuǎn)才能到校？

在第（1）題的教學(xué)中，部分學(xué)生若采用了用4.1代入，學(xué)生能自己發(fā)現(xiàn)問題并解決.這個小題大部分學(xué)生都能解決，這是因?yàn)檫@個小題的出現(xiàn)可能給第（2）題的求解帶來一定的思維定式，很多學(xué)生理解成用單純的字母代入，并沒有考慮到對n的分類討論，在老師的不斷啟發(fā)下，學(xué)生才發(fā)現(xiàn)這時的n并不是一定大于３的，所以分類討論在這里是必要的.

其實(shí)，在《代數(shù)式》這章教學(xué)中，運(yùn)用分類思想的同時還有合并思想的出現(xiàn)，這一思想在“整式的加減”這一節(jié)中的具體體現(xiàn)是合并同類項(xiàng)，這一內(nèi)容為以后“根式”這一章中的合并同類根式打下了基礎(chǔ).

六、對稱變換思想

例7 已知多項(xiàng)式a+b，當(dāng)a=2，b=-3和a=-3，b=2時它的值都是-1，我們將這樣的把代數(shù)式中未知數(shù)的取值互換而值不變的多項(xiàng)式稱為對稱多項(xiàng)式.請寫出關(guān)于x，y的對稱多項(xiàng)式各兩個：（1）二次二項(xiàng)式；（2）二次三項(xiàng)式（不含常數(shù)項(xiàng)）.

對稱變換思想一般在幾何中體現(xiàn)較多，在代數(shù)式中出現(xiàn)的對稱多項(xiàng)式，學(xué)生容易與加法交換律和乘法交換律中位置的交換搞錯，可以讓學(xué)生不斷地取不同的數(shù)值加以嘗試，然后通過觀察代數(shù)式的特點(diǎn)，尤其是二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)，初步讓學(xué)生有對稱變換的思想，為今后學(xué)習(xí)有關(guān)對稱式的知識打下基礎(chǔ).

以上只是《代數(shù)式》這一章的內(nèi)容中所涉及的部分?jǐn)?shù)學(xué)思想，貫穿于整章乃至整套初中教材中的數(shù)學(xué)思想遠(yuǎn)不止這些.在平時的教學(xué)中，教師應(yīng)有意識地提煉和滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生真正領(lǐng)會數(shù)學(xué)問題中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，從而逐步把握數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)，為新課標(biāo)倡導(dǎo)的“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上得到不同的發(fā)展”的真正實(shí)現(xiàn)做好保障.