【摘要】一些看上去很難的數(shù)學(xué)競賽題,利用因式分解的方法,只要對其中的數(shù)量關(guān)系作簡單的奇偶性分析,問題就能迎刃而解.
【關(guān)鍵詞】整數(shù);因式分解;奇偶性;競賽題
我們知道整數(shù)分為兩大類:奇數(shù)類和偶數(shù)類.整數(shù)的奇偶性有著許多非常明顯而又非常簡單的性質(zhì).利用其中一些性質(zhì)可以求解一些與整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題,包括一些看上去很難的數(shù)學(xué)競賽題,只要對其中的數(shù)量關(guān)系作簡單的奇偶性分析,問題就能迎刃而解,下面列舉幾例.
例1 (北京市競賽題)直角三角形的三邊長均為正整數(shù),已知它的一條直角邊的長恰為1997,那么另一條直角邊的長是.
分析 根據(jù)直角三角形的勾股定理,易得x2+19972=y2,可是兩個未知數(shù)一個方程無法繼續(xù)求解,此時,可從利用整數(shù)的奇偶性的角度來考慮,則問題就可迎刃而解,原式可以變形為y2-x2=19972,所以(y-x)(y+x)=19972.
∵y-x與y+x的奇偶性相同,
∴只可能y+x=19972,y-x=1,或y+x=1997,y-x=1997(舍去).
由此解出x與y非常簡單了.
例2 (湖北省荊州市競賽題)正方形的地磚不重疊、無縫隙地鋪滿一塊地,選用邊長為x cm的地磚,恰用n塊;若選用邊長為y cm的地磚,則要比前一種剛好多用124塊.已知x,y,n都是正整數(shù),且(x,y)=1.試問:這塊地有多少平方米?
解析 根據(jù)題意,可得nx2=(n+124)y2.
∴n(x2-y2)=124y2.
∵(x,y)=1(x>y),
∴(x2,y2)=1,(x2-y2,y2)=1,∴n|y2.
令n=ky2,則有k(x2-y2)=124,
即k(x+y)(x-y)=124=22×31.
∵(x-y),(x+y)的奇偶性相同,
∴x+y=31,x-y=1,或x+y=31×2,x-y=2.
分別解得x=16,y=15與x=32,y=30(與x,y互質(zhì)矛盾,舍去).
當(dāng)x=16,y=15時,k=4,n=ky2=900.
因此,這塊地面積為S=nx2=900×162=2304(m2).
練習(xí) (上海市競賽題)一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋,如果使用較小的相同正方形地磚,那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地,已知n及地磚的邊長都是整數(shù),且兩種地磚的邊長互質(zhì),求n.
方法與上題完全相同,解得兩個正方形邊長分別為20與18,n=324.
例3 (上海市競賽題)已知直角三角形的兩直角邊長分別為l厘米,m厘米,斜邊長為n厘米,且l,m,n均為正整數(shù),l為質(zhì)數(shù).證明:2(l+m+1)是完全平方數(shù).
分析 ∵l2=n2-m2,
∴(n+m)(n-m)=l2.
∵l為質(zhì)數(shù),
∴n+m=l2,n-m=1,∴m=l2-12,
∴2(l+m+1)=(l+1)2,
即2(l+m+1)是完全平方數(shù).
例4 (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)如圖,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD⊥AB于D,已知Rt△ABC的三邊長都是整數(shù),且BD=113,求Rt△BCD與Rt△ACD的周長之比.
分析 設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,BC2=BD#8226;BA,
即a2=113c.因為a2為完全平方數(shù),且11為質(zhì)數(shù),
∴c=11k2(k為正整數(shù)),
則a=112k,b=c2-a2=11kk2-112.
∵b為整數(shù),∴k2-112為完全平方數(shù),
不妨設(shè)k2-112=l2(l為正整數(shù)),
則(k+l)(k-l)=112,得k+l=112,k-l=1,解得k=61,l=60.
∴a=112×61,b=11×60×61,
∴Rt△BCD與Rt△ACD的周長之比=ab=1160.
以上四例體現(xiàn)了在許多競賽題中遇到形如n2-m2=l2經(jīng)常需要將其形式化為(n+m)(n-m)=l2,并根據(jù)(n+m)與(n-m)的同奇同偶性,從而確定(n+m)與(n-m)的值,解出構(gòu)成的方程組的解即得到需要的答案.