淺析動中有“靜”的解決策略

【摘要】近四年，江蘇卷解析幾何一直在考動態(tài)幾何問題，從題目上看，它涉及的知識層面深而廣，并且蘊含著許多數(shù)學(xué)思想，目的是考查學(xué)生運用知識分析和解決問題的能力，更重要的是考查創(chuàng)新探究能力.筆者結(jié)合江蘇省2008年至2011年的歷年高考第18題來淺析幾何解題中的動中有“靜”的解決策略.

【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué)；動態(tài)幾何；數(shù)形結(jié)合思想；分類討論思想；轉(zhuǎn)化的思想

在近四年的每年的《江蘇省高考考試說明》中明確強調(diào)“突出數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法的考查，重視數(shù)學(xué)基本能力和綜合能力的考查，注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的考查”.這三個考查在高考中究竟是怎樣體現(xiàn)的？特別在平面解析幾何這個模塊是如何考查的？首先來看看江蘇省近四年高考題的第18題：

1（2008年江蘇卷18題）設(shè)平面直角坐標系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)的圖像與兩坐標軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C.求：

（1）求實數(shù)b的取值范圍；

（2）求圓C的方程；

（3）問圓C是否經(jīng)過某定點（其坐標與b無關(guān)）？請證明你的結(jié)論.

2（2009年江蘇卷18題）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2：(x-4)2+(y-5)2=4.

（1）略；

（2）設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標.

3（2010年江蘇卷18題）在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓x29+y25=1的左、右頂點為A，B，右焦點為F，設(shè)過點T（t，m）的直線TA，TB與橢圓分別交于點M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.

（1）略；（2）略；

（3）設(shè)t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關(guān)）.

4（2011年江蘇卷18題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，M，N分別是橢圓x24+y22=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k.

（1）略；（2）略；

（3）對任意k>0，求證：PA⊥PB.

2008年第18題以二次函數(shù)與圓為載體出題，第（2）問所求的圓的方程過x軸上兩點知圓心的橫坐標是定值，由于y軸上的坐標不確定，從而使得答案的圖像是一個動態(tài)的圓，在運動的過程中它有不變的點從而出現(xiàn)了第（3）問的定點問題，這是動態(tài)幾何中的面動問題.

2009年第18題以直線與圓的方程為載體出題，這道題的第（2）問一開始給人的感覺無從下手，因為存在過點P的無窮多對直線，這是直線在繞著P點運動，但是注意題目提到直線垂直，且被圓截得的弦長相等，這是不變且是恒成立的，從而可求解，這是動態(tài)幾何中的線動問題.

2010年江蘇卷第18題c 直線與橢圓的方程為載體出題，這道題的第（3）問中的A，B是定點，P在運動，從而使得直線MN也在運動，直線MN運動的過程中它有不變的點在x軸上，從而和2008年第18題是一樣的定點問題，這是動態(tài)幾何中的點動問題.

2011年江蘇卷第18題也是以直線與橢圓的方程為載體出題，這道題的第（3）問中的原點是定點，直線AP在運動，從而使得直線AB，PC也在運動，直線AP運動的過程中PA，PB有不變的位置關(guān)系問題，這也是動態(tài)幾何中的線動問題.

近四年，江蘇卷解析幾何一直在考動態(tài)幾何問題，從題目上看，它涉及的知識層面深而廣，并且蘊含著許多數(shù)學(xué)思想，目的是考查學(xué)生運用知識分析和解決問題的能力，更重要的是考查創(chuàng)新探究能力，涉及的知識及數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化的思想.可見，動態(tài)問題的綜合性很強，要解答這類問題，一是要掌握涉及的基本知識，這是必要條件；二是要明確相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，這樣能夠更全面、系統(tǒng)、靈活地解答問題；三是要掌握有效的解題手段，這是解決問題的關(guān)鍵.

一、明確幾類動態(tài)問題

1動點問題

動點問題涉及單動點和雙動點，是指動點沿著一定的路徑運動，形成新的圖形，解答該類問題通常是利用特殊圖形的性質(zhì)建立方程.

2動線與動圖問題

動線與動圖問題是指直線或圖形按指定的路徑進行平移、旋轉(zhuǎn)，形成新的圖形，結(jié)合平行線的性質(zhì)和全等三角形以及相似三角形的性質(zhì)，建立方程或函數(shù)關(guān)系求解.

二、解答動態(tài)幾何問題的步驟

1明確運動過程

（1）以動制靜，結(jié)合動點、動線、動圖的運動路徑及自身的變化情況，參照圖形，想象運動的全過程，初定運動過程中的幾種狀態(tài)；（2）以靜制動，運用分類討論的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識確定運動情況，結(jié)合運動的狀態(tài)，確定有代表性的圖形.

2明確解題過程

（1）結(jié)合有代表性的圖形，運用分類討論的數(shù)學(xué)思想，利用方程、不等式進行分類；（2）結(jié)合圖形，利用特殊圖形的性質(zhì)，應(yīng)用方程、函數(shù)來找等量關(guān)系、計算.

三、明確解題過程

對于動線和動圖問題，可結(jié)合動線和動圖中的參照點，轉(zhuǎn)化為動點問題分析求解.培養(yǎng)學(xué)生解決動態(tài)幾何問題的能力，平時還要加強運用分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化的思想等數(shù)學(xué)思想來分析問題、解答問題；靈活掌握點坐標與線段長的相互轉(zhuǎn)化，結(jié)合運動路程來計算線段長度等計算方法和技巧.