新教材強(qiáng)調(diào)了從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā),讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行應(yīng)用的過(guò)程,重視培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和創(chuàng)新精神,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情,讓學(xué)生在實(shí)踐的過(guò)程中掌握新知識(shí),這是數(shù)學(xué)改革的一大突破.
翻開(kāi)教材,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)許多題目有新的創(chuàng)意,它將數(shù)學(xué)知識(shí)貫串在實(shí)際生活中.下面讓我們一起看勾股定理的應(yīng)用問(wèn)題.
例1 有一根長(zhǎng)70厘米的木棒,要放在一個(gè)長(zhǎng)40厘米,寬30厘米,高50厘米的木箱中,能放進(jìn)去嗎?
分析 此題并不陌生,如圖,在長(zhǎng)方體內(nèi)連接兩條線段,兩次用勾股定理,求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度=402+302+502=5000>4900=70(cm),因此長(zhǎng)為70厘米的木棒能放進(jìn)去.
例2 如圖所示,有一個(gè)圓柱,它的高為4厘米,底面半徑為1.5厘米,在圓柱下底面的A點(diǎn)處有一只螞蟻,它想吃到上底面與A相對(duì)的B點(diǎn)處的食物,沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少?
誤區(qū) 這道題目將勾股定理放在實(shí)際生活中的螞蟻尋食這一現(xiàn)象中,拿到題目,許多同學(xué)毫不猶豫地連接了AB,然后用勾股定理計(jì)算出AB=32+42=5(厘米),于是就說(shuō)最短路程是5厘米.想一想,這種解法正確嗎?為什么?
剖析 我們對(duì)于此類(lèi)題目,可以從以下三步去解:
第一步,從題目中提取有用的信息:(1)圓柱的高為4厘米,底面半徑為1.5厘米;(2)沿圓柱的側(cè)面爬行;(3)A,B的最短路程是多少.
第二步,細(xì)心分析:因?yàn)槲浵佈貓A柱側(cè)面爬行,不可能在圓柱內(nèi)部爬行,所以直接連接AB是不對(duì)的,由于圓柱的側(cè)面是曲面,所以我們想到將曲面展開(kāi)成平面.(如圖)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,所以連接AB就行.
第三步,根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=42+(15π)2≈6.18(厘米).
所以,螞蟻沿圓柱爬行的最短路程為6.18厘米.
由此題我們可以聯(lián)想到下面這道題:
例3 如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體木塊,長(zhǎng)、寬、高分別是13厘米、10厘米、6厘米,A點(diǎn)處有一只螞蟻,它想吃到與A點(diǎn)相對(duì)的G點(diǎn)處的食物,問(wèn)螞蟻爬行的最短路程是多少?
剖析 乍一看,不知如何下手,AG究竟何時(shí)才最短?我們不妨仿照上一題的解題過(guò)程:
第一步,從題目中提取有用的信息:(1)長(zhǎng)、寬、高分別是13厘米、10厘米、6厘米,(2)要求最短路程是多少.除此之外,還有一個(gè)隱藏的信息:螞蟻只能沿長(zhǎng)方體木塊的表面爬行.
第二步,分析:因?yàn)槲浵伈豢赡茉陂L(zhǎng)方體內(nèi)部爬行,所以直接連接AG,然后再利用兩次勾股定理計(jì)算出AG是不對(duì)的,所以我們?nèi)匀幌氲綉?yīng)將長(zhǎng)方體展開(kāi),到底怎樣展開(kāi)呢?
動(dòng)動(dòng)腦筋,實(shí)際操作一下,可以發(fā)現(xiàn)展開(kāi)長(zhǎng)方體有三種方法,如圖(1)(2)(3).
第三步,利用勾股定理計(jì)算.
圖(1)是將長(zhǎng)方體的六個(gè)面中的前面和上面的兩個(gè)面展開(kāi),此時(shí),AH=AE+EH=6+10=16(厘米),HG=13厘米,所以AG=AH2+HG2=162+132=425=517(厘米);
圖(2)是將長(zhǎng)方體的六個(gè)面中的前面和右面的兩個(gè)面展開(kāi),此時(shí),AC=AB+BC=13+10=23厘米,CG=6厘米,所以AG=AC2+CG2=232+62=565(厘米)>425(厘米);
圖(3)是將長(zhǎng)方體的六個(gè)面中的左面和上面的兩個(gè)面展開(kāi),此時(shí),AG=AF2+FG2=192+102=461(厘米)>425(厘米).
因此,要求的最短路程應(yīng)按圖(1)的方法展開(kāi),螞蟻爬行的最短路程為517厘米.
總結(jié) 從上面的例題我們可以看出,對(duì)于“勾股定理的應(yīng)用”中兩種典型的實(shí)際問(wèn)題,我們要做到:
1仔細(xì)分析題意,弄清是幾何體內(nèi)部問(wèn)題(如上述放木棒)還是表面問(wèn)題(如螞蟻覓食).
2對(duì)于表面問(wèn)題要勤于動(dòng)手,將所給的幾何體無(wú)論是圓柱體還是正方體,或長(zhǎng)方體,都按要求展開(kāi),使螞蟻爬行的路程是直線段,這樣才能求出最短路程.
3對(duì)于長(zhǎng)方體中展開(kāi)方法不止一種情況的,我們要比較哪種情形下,兩點(diǎn)間的距離最短,從而得出符合題目條件的結(jié)論.
4在解決有關(guān)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中,我們要善于構(gòu)建恰當(dāng)?shù)闹苯侨切危_運(yùn)用勾股定理.