三次函數(shù)的一般形式為y=f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0,a,b,c,d∈R).近幾年的全國(guó)各省市高考試卷以導(dǎo)數(shù)為工具,有重點(diǎn)地考查了有關(guān)三次函數(shù)的單調(diào)性、極值、在閉區(qū)間上的最值等函數(shù)性態(tài),凸顯“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)上命題”的理念.三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù),因此,三次函數(shù)交匯了函數(shù)、不等式、方程等眾多知識(shí)點(diǎn)以它為載體的試題,背景新穎獨(dú)特,選拔功能強(qiáng).如果學(xué)生對(duì)三次函數(shù)的圖像、性質(zhì)以及三次方程根的情況有所了解,那就更加得心應(yīng)手了.
一、三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)
1定義域:R
2值域:R
3單調(diào)性
易證 三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)f′(x)=3ax2+2bx+c(a>0),導(dǎo)函數(shù)的判別式化簡(jiǎn)為Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac).
(1)若b2-3ac≤0,則f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù)(如圖1).
(2)若b2-3ac>0,則f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上為增函數(shù),f(x)在(x1,x2)上為減函數(shù),其中x1=-b-b2-3ac3a,x2=-b+b2-3ac3a(如圖2).
三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a<0)的情況為圖3、圖4.
4極 值
三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),
(1)若b2-3ac≤0,則f(x)在R上無極值(如圖1).
(2)若b2-3ac>0,則f(x)在R上有兩個(gè)極值,且f(x)在x=x1處取得極大值,在x=x2處取得極小值(如圖2).
三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a<0),
(1)若b2-3ac≤0,則f(x)在R上無極值(如圖3).
(2)若b2-3ax>0,則f(x)在R上有兩個(gè)極值,且f(x)在x=x1處取得極小值,在x=x2處取得極大值(如圖4).
5對(duì)稱性
函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是中心對(duì)稱圖形,其對(duì)稱中心是-b3a,f-b3a.
證明 設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對(duì)稱中心為(m,n).
按向量a=(-m,-n)將函數(shù)的圖像平移,則所得函數(shù)y=f(x+m)-n是奇函數(shù),所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0.
化簡(jiǎn)得(3ma+b)x3+am3+bm2+cm+d-n=0.
上式對(duì)x∈R恒成立,故3ma+b=0,
得m=-b3a,n=am3+bm2+cm+d=f-b3a.
所以,函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對(duì)稱中心是-b3a,f-b3a.
可見,y=f(x)圖像的對(duì)稱中心在導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的對(duì)稱軸上,且又是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn).
二、三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a>0)實(shí)根的個(gè)數(shù)
分析 函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的圖像與x軸有幾個(gè)交點(diǎn),方程便有幾個(gè)根.
1當(dāng)Δ=4b2-12ac≤0時(shí),由于不等式f′(x)≥0恒成立,函數(shù)是單調(diào)遞增的,所以原方程僅有一個(gè)實(shí)根.
2當(dāng)Δ=4b2-12ac>0時(shí),由于方程f′(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1,x2,不妨設(shè)x1 此時(shí),若f(x1)#8226;f(x2)>0,即函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)在x軸同側(cè),圖像均與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),所以原方程有且只有一個(gè)實(shí)根(如圖5,6). 若f(x1)#8226;f(x2)<0,即函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)在x軸異側(cè),圖像與x軸必有三個(gè)交點(diǎn),所以原方程有三個(gè)不等實(shí)根(如圖2). 若f(x1)#8226;f(x2)=0,即f(x1)與f(x2)中有且只有一個(gè)值為0,所以,原方程有三個(gè)實(shí)根,其中兩個(gè)相等(如圖7,8). 下面讓我們來體會(huì)一下如何應(yīng)用三次函數(shù)的圖像、性質(zhì)以及三次方程根的情況快速、準(zhǔn)確地解答問題. 例 已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是減函數(shù),求a的取值范圍? 解 求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù):f′(x)=3ax2+6x-1. (1)當(dāng)f′(x)<0(x∈R)時(shí),f(x)是減函數(shù). 3ax2+6x-1<0(x∈R)a<0且Δ=36+12a<0a<-3. 所以,當(dāng)a<-3時(shí),由f′(x)<0,知f(x)(x∈R)是減函數(shù). (2)當(dāng)a=-3時(shí),f(x)=-3x3+3x2-x+1=-3x-133+89,由函數(shù)y=x3在R上的單調(diào)性,可知當(dāng)a=-3時(shí),f(x)(x∈R)是減函數(shù). (3)當(dāng)a>-3時(shí),在R上存在一個(gè)區(qū)間,其上有f′(x)>0,所以,當(dāng)a>-3時(shí),函數(shù)f(x)(x∈R)不是減函數(shù). 綜上所述,所求a的取值范圍是(-∞,-3]. 如果用三次函數(shù)性質(zhì),我們就可以這樣解答: 解 若a=0,f(x)=3x2-x+1為二次函數(shù),在R上不是減函數(shù); 若a≠0,f(x)=ax3+3x2-x+1為三次函數(shù),在R上是減函數(shù),只需a<0且9+3a≤0,即a≤-3. 綜上所述,a的取值范圍是a≤-3. 綜觀以上事例,只要我們了解了三次函數(shù)的圖像、性質(zhì)以及三次方程根的情況,無論是容易題、中檔題還是難題,都能找到明確的解題思路,解題過程也簡(jiǎn)明扼要.盡管高中教學(xué)強(qiáng)調(diào)利用導(dǎo)數(shù)解決這類問題,但我們了解了這些知識(shí)就會(huì)拓寬解題思路,而且有利于知識(shí)的系統(tǒng)性,有利于高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的銜接.