運(yùn)用函數(shù)巧解“找規(guī)律”題

最近幾年，全國多數(shù)地市的中考都有“找規(guī)律”題出現(xiàn)，各個(gè)學(xué)校開始重視這一類數(shù)學(xué)題的解題思路.但這類問題沒有明確的知識(shí)方法可尋，解題思路多種多樣.在此，作者就其中一類的“找規(guī)律”題和各位同仁交流，對解決這類問題作一個(gè)初步的探究.

一、運(yùn)用一次函數(shù)解題

1.（丹東）如圖，用同樣大小的黑色棋子按圖所示的方式擺圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第100個(gè)圖案需棋子枚.



解 設(shè)第n個(gè)圖案的棋子為s枚，得s=an+b.

由第一個(gè)圖案得，n=1時(shí)，s=5.由第二個(gè)圖案得，n=2時(shí)，s=8.

代入s=an+b中，得5=a+b，8=2a+b，解得a=3，b=2.

所以，s=3n+2（n為正整數(shù)）.

那么此題就是當(dāng)n=100時(shí)，s=302.即第100個(gè)圖案需棋子302枚.

2.用邊長為1 cm的小正方形搭成如下的塔狀圖形，則第n次所搭圖形的周長是cm（用含n 的代數(shù)式表示）.

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解 設(shè)第n次所搭圖形的周長是C cm，得C=an+b.

由第一個(gè)圖案得，n=1時(shí)，C=4.由第二個(gè)圖案得，n=2時(shí)，C=8.

代入C=an+b中，得4=a+b，8=2a+b，解得a=4，b=0.

所以，C=4n（n為正整數(shù)）.

即第n次所搭圖形的周長是4n cm.

小結(jié) 運(yùn)用一次函數(shù)求解的“找規(guī)律”題，我們發(fā)現(xiàn)相鄰之間的數(shù)據(jù)差相等.

二、運(yùn)用二次函數(shù)解題

3.如下圖是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小房子，觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第n個(gè)小房子用了塊石子.

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解 設(shè)第n個(gè)小房子用了s塊石子，得s=an2+bn+c.

由第一個(gè)圖案得，n=1時(shí)，s=5.由第二個(gè)圖案得，n=2時(shí)，s=12.由第三個(gè)圖案得，n=3時(shí)，s=21.

代入s=an2+bn+C中，得5=a+b+c，12=4a+2b+c，21=9a+3b+c，解得a=1，b=4，c=0.

所以，s=n2+4n（n為正整數(shù)）.

即第n個(gè)小房子用了n2+4n塊石子.

4.圖1是棱長為a的小正方體，圖2、圖3由這樣的小正方體擺放而成.按照這樣的方法繼續(xù)擺放，由上而下分別叫第一層、第二層、…、第n層，第n層的小正方體的個(gè)數(shù)為s.解答下列問題：

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解 設(shè)第n層的小正方體的個(gè)數(shù)為s，得s=an2+bn+c.

由第一個(gè)圖案得，n=1時(shí)，s=1.由第二個(gè)圖案得，n=2時(shí)，s=3.由第三個(gè)圖案得，n=3時(shí)，s=6.

代入s=an2+bn+c中，得1=a+b+c，3=4a+2b+c，6=9a+3b+c，解得a=05，b=05，c=0.

所以，s=05n2+05n（n為正整數(shù)）.

即第n層的小正方體的個(gè)數(shù)為s=05n2+05n.

小結(jié)：運(yùn)用二次函數(shù)求解的“找規(guī)律”題，我們發(fā)現(xiàn)相鄰之間的數(shù)據(jù)差等差.

三、運(yùn)用an類型函數(shù)解題

5.（撫順）觀察下列圖形（每幅圖中最小的三角形都是全等的），請寫出第n個(gè)圖中最小的三角形的個(gè)數(shù)有個(gè).

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解 第n個(gè)圖中最小的三角形的個(gè)數(shù)有s個(gè).

得s=2an-b.

由第一個(gè)圖案得，n=1時(shí)，s=1.由第二個(gè)圖案得，n=2時(shí)，s=4.

代入s=2an-b中，得1=2a-b，4=22a-b，解得a=2，b=2.

所以，s=22n-2（n為正整數(shù)）.

即第n個(gè)圖中最小的三角形的個(gè)數(shù)有22n-2個(gè).

小結(jié) 一般的運(yùn)用an類型函數(shù)求解的“找規(guī)律”題，我們發(fā)現(xiàn)相鄰之間的數(shù)據(jù)商相等.

四、綜合運(yùn)用

6.小王利用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下表：

輸入…12345…

輸出…1225310417526…

那么，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)是8時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)是（ ）.

A861

B863

C865

D867

解 由表格中的數(shù)據(jù)我們可以得知，分子是一次函數(shù)規(guī)律，分母是二次函數(shù)規(guī)律.

所以，輸出的數(shù)據(jù)=nn2+1（n為輸入數(shù)據(jù)）.

當(dāng)n=8時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)為865.即答案選C.