【摘要】本文主要借助于矩陣分析中矩陣序列連續(xù)性的概念,得到了連續(xù)性推證的思想,并利用這一思想,解決了一些矩陣問題中當所涉及元素為零元素或矩陣為非奇異矩陣時的相關命題.
【關鍵詞】矩陣;連續(xù)性推證;慣性
【基金項目】河南省自然科學基金(072300440190)
一、預備知識
在文獻[1,2]中,都提到了如下定義和結論:
定義1 已知F為任意數域,對于矩陣序列A(k)=(a(k)ij)∈Mm,n(F),k=1,2,…,如果limk→∞a(k)ij=aij,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n,則稱矩陣序列{A(k)}收斂于A=(aij)∈Mm,n(F),或它有極限A,記作:A(k)→A(k→∞)或者limk→∞A(k)=A.
定理2 A(k)→A(k→∞)的充要條件是對于任意廣義矩陣范數‖#8226;‖,都有‖A(k)-A‖→0,(k→∞).
利用該定理和文獻[1]中P55引理2,我們可以得到許多很有意義的推論.
二、主要結果及應用
定理3 如果對于矩陣A=(aij)∈Mn,n(F),B=(bij)∈Mn,n(F),令A(k)=A+εkB,這里ε為任意充分小量,limε→∞εk=0,則我們仍然有l(wèi)imk→∞a(k)ij=aij,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n成立,此時對于矩陣范數‖#8226;‖,‖A(k)‖→‖A‖(k→∞).特別地,用ε替換εk時,可以得到:
定理4 如果對于矩陣A=(aij)∈Mn,n(F),B=(bij)∈Mn,n(F),令A(ε)=A+εB,這里ε為任意無窮小量,則A(ε)→A(k→∞),且有|A(ε)|→|A|(ε→0).
我們稱定理4的思想為連續(xù)性推證(在有的文獻中也稱為攝動法),運用該方法,在高等代數或線性代數特別是矩陣理論中的行列式計算和矩陣問題分析方面,對于一些用代數辦法不易求解或者求解過程相當繁瑣的問題,可以極為巧妙的解決.
命題1 設A,B,C,D都是n階矩陣,當AC=CA時,證明:ABCD=|AD-CB|.
說明 對于該問題,一般情況下題目都要求|A|≠0,此時該問題容易求解,下邊我們給出當矩陣A不可逆時該結論仍然成立的證明.
證明 如果A為可逆矩陣時,結論很容易給出證明.
當|A|≠0時,因為En0-CA-1EnABCD=AB0D-CA-1B,所以ABCD=AB0D-CA-1B=|A||D-CA-1B|=|A(D-CA-1B)|=|AD-ACA-1B|=|AD-CB|,結論成立.
當|A|=0時,令A(ε)=A+εE,這里E為n階單位矩陣,ε為充分小量,注意到矩陣A有有限個特征值,于是有無窮多個充分小的ε使|A(ε)|≠0,且A(ε)依然和C可交換,于是有A(ε)BCD=|A(ε)||D-CA(ε)-1B|=|A(ε)D-CB|.
由定理4,當ε→0時,對上式兩端同時取極限后,結論成立.
注 本題中,若題設條件改為AB=BA,可以類似的證明ABCD=|DA-CB|.
命題2 設A,B∈Mn,n(F),(n≥2),證明:(AB)*=B*A*,這里A*表示A的伴隨矩陣,即A*A=AA*=|A|E.
證明 (1)當A,B均可逆時,由(AB)*(AB)=|AB|E,得(AB)*=|AB|(AB)-1=|B|B-1×|A|A-1=B*A*.
(2)若A,B中至少有一個不可逆,令A(ε)=A+εE,B(ε)=B+εE,注意到矩陣A,B有有限個特征值,于是有無窮多個充分小的ε使|A(ε)|≠0,|B(ε)|≠0.
于是由(1),可得(A(ε)B(ε))*=B(ε)*A(ε)*.①
令(A(ε)B(ε))*=(fij(ε))n×n,B(ε)*A(ε)*=(gij(ε))n×n,由上式得
fij(ε)=gij(ε)(i,j=1,2,…,n).②
由于有無窮多個ε使①式成立,故有無窮多個ε使上式成立.但fij(ε),gij(ε)都是ε的多項式,從而②式對一切ε都成立.
特別的,令ε=0,這時有(AB)*=(A(0)B(0))*=B(0)*A(0)*=B*A*,結論成立.
命題3 若n階Hermite矩陣A,B滿足B=S*AS和rank(A)=rank(B),這里S∈Cn×n,則矩陣A,B具有相同的慣性:In(A)=In(B).
證明 如果S∈Cn×n可逆,則按Sylvester慣性律,定理的結論In(A)=In(B)成立.
如果S∈Cn×n不可逆,則取充分小的正數ε,使得S(ε)=S+εIn非奇異,令B(ε)=S(ε)*AS(ε),按Sylvester慣性律,In(A)=In(B)對充分小的正數ε成立.令ε→0+,B(ε)的一部分正的(或者負的)特征值可能變?yōu)?,但是不會變?yōu)樨摰?或者正的)B的特征值,因而In(B)≤In(A),再從rank(A)=rank(B)看出,一定有In(B)=In(A).
【參考文獻】
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