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    由高中課本中的習(xí)題聯(lián)想到函數(shù)的凹凸性

    2012-04-29 00:00:00季錦成

    大學(xué)知識點下放到高中是新課程中的一個特點,蘇教版將這些知識點的下放有的放于章節(jié)學(xué)習(xí)中,有的放于課后“探究拓展”中,雖沒有明確指出大學(xué)所講的嚴(yán)格定義,但從感性的角度給學(xué)生一個認(rèn)識,對這些知識點的了解,有時對學(xué)生的思維拓展起到很好的作用.

    如蘇教版必修1中就有這樣兩道思維拓展題:

    1對于任意的x1,x2∈R,若函數(shù)f(x)=2x,試比較f(x1)+f(x2)2與fx1+x22的大小關(guān)系.

    2對于任意的x1,x2∈(0,+∞),若函數(shù)f(x)=lgx,試比較f(x1)+f(x2)2與fx1+x22的大小關(guān)系.

    這兩道題的比較應(yīng)該是比較簡單的,只需要將兩式作差即可,如下證明第一題:

    f(x1)+f(x2)2-fx1+x22=2x1+2x22-2x1+x22-122x122+2x222-2#8226;2x1+x22=122x12-2x222≥0,所以,對于函數(shù)f(x)=2x,f(x1)+f(x2)2≥fx1+x22.

    同理我們可以知道對于函數(shù)f(x)=lgx,則有f(x1)+f(x2)2≤fx1+x22.

    我們的學(xué)生有可能做到這就結(jié)束了,沒有去反思為什么出現(xiàn)這樣的情況,其實這要從函數(shù)的凹凸性來說起.

    什么叫函數(shù)的凸性呢?我們先以兩個具體函數(shù)為例,從直觀上看一看何謂函數(shù)的凸性.如函數(shù)y=x所表示的曲線是向上凸(即凹)的,而y=x2所表示的曲線是向下凸的,這與我們?nèi)粘A?xí)慣上的稱呼是相類似的.或更準(zhǔn)確地說:從幾何上看,若y=f(x)的圖形在區(qū)間I上是凸的,那么連接曲線上任意兩點所得的弦在曲線的上方;若y=f(x)的圖形在區(qū)間I上是凹的,那么連接曲線上任意兩點所得的弦在曲線的下方.

    設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是凸的(向下凸),任意x1,x2∈I(x1

    曲線y=f(x)上任意兩點A(x1,f(x1)),B(x1,f(x1))之間的圖像位于弦AB的下方,即任意x∈(x1,x2),f(x)的值小于或等于弦AB在x點的函數(shù)值,弦AB的方程y=f(x2)-f(x1)x2-x1(x-x1)+f(x1).

    對任意x∈(x1,x2)有f(x)≤f(x2)-f(x1)x2-x1(x-x1)+f(x1),整理得f(x)≤x2-xx2-x1f(x1)+x-x1x2-x1f(x2).

    令t=x2-xx2-x1,則有0

    定義 設(shè)函數(shù)(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),若對I上任意兩數(shù)x1,x2和任意實數(shù)t∈(0,1)總有f[tx1+(1-t)x2]≤tf(x1)+(1-t)f(x2),則稱函數(shù)f(x)為I上的凸函數(shù).反之,如果總有f[tx1+(1-t)x2]≥tf(x1)+(1-t)f(x2),則稱函數(shù)f(x)為I上的凹函數(shù).

    當(dāng)令t=12時,就變成了我們前兩個問題的答案,所以,我們可以知道函數(shù)f(x)=2x在R上定凸的,而函數(shù)f(x)=lgx是凹的.

    其實高中所學(xué)的好多函數(shù)都具有這樣的凹凸性,像我們所學(xué)的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)在一定的區(qū)間上都有凹凸性,其實利用這些性質(zhì)可以解決我們所熟悉的一些問題.像我們所學(xué)的基本不等式就可以用函數(shù)的凹凸性來構(gòu)造函數(shù)證明.

    例1 證明21x1+1x2≤x1x2≤x1+x22,x1>0,x2>0,當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時等號成立.

    證明 當(dāng)x1=x2時等號顯然成立.只需證x1≠x2時,不等號成立即可.

    取f(x)=-lgx,則y=f(x)在(0,+∞)上是凸函數(shù),

    -lgx1+x22<-lgx1-lgx22=-lgx1x2.

    因f(x)=-lgx單調(diào)減,故有x1x2

    又將用1x代換x,得1x1#8226;1x2<1x1+1x22,

    即21x1+1x2

    也可以運用y=x2的凹凸性來證明.當(dāng)x>0,y>0時,x2+y22≥x+y2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立.這種證明方法能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維能力及構(gòu)造函數(shù)的能力.

    例2 已知a>0,b>0,a3+b3≤2,求證:a+b≤2.

    解 在高中階段我們對這個式子的證明通常用反證法.

    假設(shè)a+b>2,那么b>2-a,代入a3+b3>a3+(2-a)3=2[a2-a(2-a)+(2-a)2]=2(3a2-6a+4)=2[3(a-1)2+1]≥2.

    所以出現(xiàn)矛盾,所以a+b≤2.

    但如果運用函數(shù)的凹凸性,很快可以得出結(jié)論:

    函數(shù)f(x)=x3在(0,+∞)內(nèi)嚴(yán)格凸.

    (a+b)38=a+b23=fa+b2≤f(a)+f(b)2=a3+b32≤22=1,∴(a+b)3≤8,∴a+b≤2.

    函數(shù)凹凸性的定義本身就是一個不等式,所以在比較一些較難的代數(shù)式的大小時可以考慮構(gòu)造函數(shù)運用函數(shù)的凹凸性來比較.同時可以將凹凸性的定義用特殊值代換,變?yōu)橹悬c的形式來解決相關(guān)問題.

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