【摘要】平面向量是高中數(shù)學的一個重要考點,特別是對平面向量基本定理的應用更是常考的內(nèi)容.該定理是聯(lián)系平面向量幾何運算和代數(shù)運算的紐帶,它能將平面圖形中任何向量表示為任意兩個不共線向量的線性組合,是進行向量幾何運算的基礎(chǔ)和重要途徑.本文意將該定理加以適當?shù)耐卣?,并結(jié)合近幾年高考題型闡述它的應用,有利于學生深化對該定理的理解,也有利于學生系統(tǒng)、全面地理解和掌握平面向量相關(guān)的基礎(chǔ)知識.
【關(guān)鍵詞】平面向量基本定理;拓展;應用
在數(shù)學教學中,若能引導學生對教材中一些數(shù)學命題進行適當?shù)耐卣?,不僅能幫助學生鞏固、深化所學知識,揭示數(shù)學知識的內(nèi)在規(guī)律,使紛繁復雜的知識變得井然有序,形成一個系統(tǒng),而且能培養(yǎng)學生深入細致地分析數(shù)學現(xiàn)象和積極主動地參與到數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程中的良好學習習慣.
一、平面向量的基本定理及拓展
1平面向量的基本定理
如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共線的向量e1,e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
注 (1)基底:不唯一,共面不共線;
(2)基底確定,對于平面內(nèi)的每個向量來說,實數(shù)對λ1,λ2的值唯一確定.
2平面向量基本定理的拓展
若OA,OB不共線,O為平面內(nèi)任一點,則A,B,P三點共線的充要條件是OP=λOA+μOB,其中λ,μ∈R且λ+μ=1.
證明 OP=λOA+μOB且λ+μ=1,
OP=λOA+(1-λ)#8226;OBOP-OB=λ(OA-OB)
BP=λBAA,B,P三點共線.
注 (1)條件OP=λOA+μOB且λ+μ=1也常寫成OP=λOA+(1-λ)OB的形式.
(2)當P是AB的中點時,λ=μ=12,即OP=12OA+12OB.
(3)由BP=λBA,∴|BP|=|λBA|,∴|λ|=|BP||BA|,
∴λ#8226;AP=μ#8226;PB,當且僅當P在線段AB內(nèi).
二、平面向量的基本定理及拓展應用
例1 (2007年全國卷Ⅱ)在△ABC中,已知D是AB邊上一點,若AD=2DB,CD=13CA+λCB,則λ等于( ).
A23
B13
C-13
D-23
解析 由平面向量的基本定理的拓展,CA,CB不共線且A,D,B三點共線CD=13CA+λCB且13+λ=1,∴λ=23.答案:A.
例2 (2008年廣東數(shù)學理科高考)在ABCD中,AC與BD交于點O,E是線段OD的中點,AE的延長線與CD交于點F,若AC=a,BD=b,則AF等于( ).
A14a+12b
B23a+13b
C12a+14b
D13a+23b
解析 如右圖,過點A作向量AG=BD,則C,F(xiàn),G三點共線.
由平面向量的基本定理的拓展,AF=λAC+μAG且λ+μ=1.
由已知,得DE=13EB.又△DEF∽△BEA,∴DF=13AB=13CD,∴FG=2CF,且λ#8226;CF=μ#8226;FG,∴λ=2μ,∴λ=23,μ=13,∴AF=23AC+13AG,即AF=23a+13b.答案:B.
例3 (2009年安徽高考)在ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點.若AC=λAE+μAF,其中λ,μ∈R,則λ+μ=.
解析 由已知,有AF=12AB+12AC,
AE=12AD+12AC.
又12AB+12AD=12AC,∴AE+AF=32AC,
即AC=23AE+23AF,∴λ+μ=43.答案:43.
例4 (2010年全國卷Ⅱ)△ABC中,點D在邊AB上,CD平分∠ACB.若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=2,則CD等于( ).
A13a+23b
B23a+13b
C35a+45b
D45a+35b
解析 如圖所示,A,D,B三點共線,由平面向量的基本定理的拓展,CD=λCB+μCA,且λ+μ=1.
又 ∠1=∠2,∴|λCB|=|μCA|,
∴λ|CB|=μ|CA|,∴λ=2μ,
∴λ=23,μ=13,∴CD=23a+13b.答案:B
引導學生將平面向量基本定理進行拓展并自覺地在解決有關(guān)問題中加以應用,可以使學生將所學知識由“點”成“線”,再成“網(wǎng)”,分層次組成一個知識系統(tǒng),從而改進和完善學生的認識結(jié)構(gòu),也可使學生在解決一個問題時,能思考一類問題,達到舉一反三的功效,有利于提高學生的應變能力,也有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維.
總之,對一些數(shù)學命題適當進行引申推廣,是一項富有挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性的活動,它不僅有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力,而且對培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)和數(shù)學素質(zhì)起著不可低估的作用.