【摘要】無(wú)論是普通高中還是職業(yè)學(xué)校,數(shù)學(xué)難是學(xué)生的一個(gè)普遍的心聲.立體幾何更是困擾學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)方面.遇到一個(gè)題目,找不清條件和結(jié)論的遠(yuǎn)近關(guān)系,不知如何下手,使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)望而卻步.怎樣降低學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度,使學(xué)生由“不喜歡學(xué)”轉(zhuǎn)化為“主動(dòng)學(xué)”,由“要我學(xué)”轉(zhuǎn)化為“我要學(xué)”,是每個(gè)數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該思考的問(wèn)題.其實(shí)數(shù)學(xué)只要找對(duì)方法,就能找到思路,題目就能迎刃而解.正難則反,我覺(jué)得使用逆向思維的“由果索因”方法從結(jié)論入手反方向去尋找可以得到結(jié)論的條件,不僅可以分清條件與結(jié)論的直接和間接的聯(lián)系,降低題目難度,還能使學(xué)生思路清晰,效果好.
【關(guān)鍵詞】課改;由果索因;逆向思維;轉(zhuǎn)化;因材施教
從教十年來(lái),發(fā)現(xiàn)無(wú)論是在普通高中還是現(xiàn)在的職業(yè)學(xué)校,數(shù)學(xué)總是擺在學(xué)生面前讓人頭疼的一個(gè)科目.數(shù)學(xué)難是學(xué)生的一個(gè)普遍的心聲.特別是數(shù)學(xué)中的立體幾何這一塊內(nèi)容,更是令學(xué)生聞之變色,望而卻步.其實(shí)立體幾何只要找對(duì)方法就能降低難度,輕松解決.幾年的摸索使我覺(jué)得用“由果索因”的方法處理立體幾何的證明問(wèn)題可以讓學(xué)生思路清晰,步驟明確規(guī)范,效果好,關(guān)鍵是降低了他們對(duì)學(xué)習(xí)立體幾何的恐懼心理,提高了學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.
立體幾何證明題主要是利用已知條件和我們已經(jīng)學(xué)習(xí)到的公理、定理、定義去證明幾何問(wèn)題,而且要求證明過(guò)程有理有據(jù)(也就是說(shuō)每得到一個(gè)結(jié)論都要有理論依據(jù)).其實(shí)通過(guò)對(duì)大量學(xué)生的了解得知,除了一部分學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)不牢固以外,大部分學(xué)生對(duì)于題目所涉及的知識(shí)點(diǎn)已經(jīng)掌握,定理、定義也已經(jīng)記熟,問(wèn)題是拿到一個(gè)立體幾何題目,他們不能或者不能很好地運(yùn)用這些知識(shí),沒(méi)有找到一條切實(shí)可行的解題思路,從而無(wú)從下手做題,一而再,再而三,形成了惡性循環(huán),造成了學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的恐懼心理,看見(jiàn)這樣的題目就自動(dòng)放棄,失分嚴(yán)重,學(xué)生的成績(jī)?cè)絹?lái)越差.
我覺(jué)得學(xué)生之所以不會(huì)做立體幾何證明題目,關(guān)鍵是他們不會(huì)很好地甄別、篩選出和問(wèn)題有關(guān)的條件,給出的已知條件也不知道怎么去用,其實(shí)這些給出的條件肯定和我們要證明的結(jié)論有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系,但是學(xué)生卻很難找到哪些條件和問(wèn)題有著必然的聯(lián)系,當(dāng)然也就看不出使用條件的先后順序,從而很難得到最后的解答,這也就是傳統(tǒng)意義上的解題方法“由因?qū)Ч?其實(shí)如果我們很難從有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系中找到和結(jié)論有必然聯(lián)系的直接條件,何不反過(guò)來(lái),從問(wèn)題入手,反方向?qū)ふ液蛦?wèn)題有直接聯(lián)系的條件呢?這就是我今天要闡述的“由果索因”.
“由果索因”的方法其實(shí)是屬于逆向思維思考問(wèn)題的一個(gè)具體表現(xiàn),也是探究式教學(xué)模式的實(shí)際操作方法.它可以解決立體幾何的大部分證明題目.“由果索因”要求分析思考問(wèn)題從結(jié)論入手,(1)要得到這個(gè)結(jié)論,需要什么樣的條件即可?(2)這個(gè)條件在已知條件中有沒(méi)有或者利用題目的已知條件能不能直接求得?(3)要是沒(méi)有這樣的條件,那么要得到這個(gè)條件又需要什么樣的條件即可?這樣的條件在已知條件中有沒(méi)有或者利用題目的已知條件能不能直接求得?(4)按上述步驟循環(huán)往復(fù),直到所需要的條件在已知條件中可以找到或利用題目的已知條件可以直接求得為止.(5)按“由因?qū)Ч眮?lái)書寫證明題步驟.下面就通過(guò)我在課堂上講解的一個(gè)典型例題來(lái)看這個(gè)方法在立體幾何證明題中的應(yīng)用.
圖 1
例 如圖1所示,ABCD和ABEF是兩個(gè)全等的正方形,M,N分別是對(duì)角線AC,BF上的點(diǎn),且AM=FN.若這兩個(gè)正方形不在同一個(gè)平面內(nèi),
求證:MN∥平面BCE.
分析過(guò)程:
師:題目要證明線面平行,那我們來(lái)想一下,只要有什么樣的條件就可以?
生1:只要有MN這條線和平面BCE內(nèi)的一條線平行就可以了.
師:很好,他想利用線面平行的判定定理來(lái)完成這個(gè)題目.還有沒(méi)有其他條件也能滿足這個(gè)結(jié)論?
生2:如果知道MN所在的一個(gè)平面和平面BCE平行也能說(shuō)明MN∥平面BCE.
師:也很好,他想利用面面平行的性質(zhì)定理來(lái)完成這個(gè)題目.這有兩種思路,我們先來(lái)看第一種思路——證明兩直線平行.好,那題目的已知條件能不能找到?(沒(méi)有.)那要證明兩直線平行,只要有什么條件就能說(shuō)明呢?
生3:三角形中有分線段對(duì)應(yīng)成比例,兩直線平行.
生4:平行四邊形的對(duì)邊平行且相等.
師:都很好,又有了兩個(gè)思路,我們先看第一個(gè)思路.要想用對(duì)應(yīng)成比例來(lái)證明平行,那首先要?jiǎng)?chuàng)建三角形,M,N作為三角形兩邊分線段的兩個(gè)點(diǎn),三角形中和MN平行的邊應(yīng)該在平面BCE內(nèi),滿足這些條件的三角形應(yīng)該怎樣創(chuàng)建?
圖 2
生5:如圖2,連接AN交直線BE于P點(diǎn),連接CP,構(gòu)造△ACP.
師:哦,有了三角形了,現(xiàn)在怎么證明MN∥CP?題目中的條件能不能證明?
生6:只要能說(shuō)明AM∶AC=AN∶AP就能證明.
師:那怎么證明這個(gè)對(duì)應(yīng)成比例呢?已知條件中有沒(méi)有呢?或者可以利用已知條件可以證明呢?
生7:可以證明.因?yàn)锳F∥BP,兩直線平行對(duì)應(yīng)邊成比例,所以有AN∶AP=FN∶FB.又因?yàn)橐阎獥l件有AM=FN,BF=AC,從而就有AM∶AC=AN∶AP.
師:好了,我們已經(jīng)知道由已知條件怎么證明了,注意:書寫過(guò)程應(yīng)該和我們的分析過(guò)程倒過(guò)來(lái),要“由因?qū)Ч?現(xiàn)在找一名同學(xué)在黑板上板書,其余同學(xué)在自己的練習(xí)本上書寫.(找學(xué)生板書,并規(guī)范步驟.)
生8:板書(簡(jiǎn)略).
師:剛才我們用三角形中對(duì)應(yīng)成比例來(lái)證明平行.現(xiàn)在我們來(lái)看另一個(gè)證明線線平行的思路——利用構(gòu)造MN作為邊的平行四邊形來(lái)證明平行.怎樣構(gòu)建呢?
圖 3
生9:如圖3,在△BEF中,過(guò)點(diǎn)N作NG∥EF,NG交直線BE于G.在△ABC中,過(guò)點(diǎn)M作MH∥AB,MH交直線BC于H,連接GH,構(gòu)造四邊形MNHG.
師:非常好,那么怎么證明這個(gè)四邊形是平行四邊形呢?那就要證明MH∥NG,MH=NG.(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形或兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.)
生9:在△BEF中,因?yàn)镹G∥EF,所以有NG∶EF=BN∶BF.在△ABC中,因?yàn)镸H∥AB,所以有MH∶AB=CM∶CA.由于AB∥EF,根據(jù)平行的傳遞性知道NG∥MH.又因?yàn)橐阎獥l件中AC=BF,AM=FN,所以CM=BN,AC=BF,AB=EF,從而得到NG=MH.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,所以MNGH是平行四邊形,MN∥GH.
師:那你在黑板上書寫步驟.
師:除了上述的兩個(gè)方法以外,我們最初分析時(shí)還有一個(gè)思路,就是通過(guò)面面平行來(lái)證明線面平行(若兩平面平行,其中一個(gè)平面內(nèi)的任何一條線都和另一個(gè)平面平行).找到M,N所在的一個(gè)平面,使其和平面BCE平行就能得到我們要證的結(jié)論.(思考)
師:那么怎么確定這個(gè)平面呢?我來(lái)提示:不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面,所以只需要找到一個(gè)點(diǎn)T就行了.這個(gè)點(diǎn)具備什么樣的特征呢?根據(jù)面面平行的判定定理(一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)相交直線分別平行于另外一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線,這樣的兩個(gè)平面平行),TM,TN要和平面BCE內(nèi)的兩條直線能平行,這樣的點(diǎn)在哪呢?你能找到嗎?
圖 4
生10:如圖4,在△ABC內(nèi),過(guò)M點(diǎn)做MT∥BC且MT與AB交于T點(diǎn),連接NT.△MNT是我們要找的平面.
師:怎么樣證明這兩個(gè)平面平行呢?
生10:在△ABC中,因?yàn)镸T∥BC,所以有AM∶AC=AT∶AB.又因?yàn)锳M=NF,AC=BF,因而在△ABF中有AT∶AB=NF∶BF,所以TN∥AF.又因?yàn)锳F∥BE,根據(jù)平行的傳遞性知道TN∥BE.所以兩個(gè)平面平行.
師:好,板書步驟.
經(jīng)過(guò)了一段時(shí)間的摸索,“由果索因”的教學(xué)方法使數(shù)學(xué)課堂有了可喜的變化:
1“由果索因”方法教學(xué)雖然“速度慢”但效益高.教學(xué)所關(guān)注的是學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的質(zhì)量而不是追求練習(xí)題的數(shù)量,所以應(yīng)該轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)應(yīng)試教學(xué)課堂中的題海戰(zhàn)術(shù).利用這種方法學(xué)習(xí)是比較費(fèi)時(shí)的,我們一節(jié)課通常只能研究一個(gè)例題(可以進(jìn)行一題多變、一題多法),有時(shí)下課了還沒(méi)有研究結(jié)束,但學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情很高,教學(xué)效果很好,有時(shí)甚至學(xué)生主動(dòng)要求延長(zhǎng)下課時(shí)間也要完成本節(jié)課的討論.因此,我覺(jué)得在教學(xué)中,應(yīng)該多關(guān)注學(xué)生的探究問(wèn)題過(guò)程和方法,激發(fā)學(xué)生的探究熱情,使學(xué)生終身受益.
2有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的興趣和自信心,同時(shí)也讓課堂教學(xué)煥發(fā)出勃勃生機(jī).以前上課都是老師提問(wèn)題,學(xué)生回答問(wèn)題,很被動(dòng),現(xiàn)在課堂很“熱鬧”,學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,勇于提出問(wèn)題,并創(chuàng)造性的解決問(wèn)題.經(jīng)常是下課了還有很多學(xué)生緊追我不放,問(wèn)個(gè)不停,師與生、生與生之間的合作性大大提高.教師教得輕松,學(xué)生學(xué)得愉快,學(xué)生在上課時(shí)可以自由地討論和發(fā)言,有什么想法都可以提出來(lái),我也鼓勵(lì)我的學(xué)生這樣做,課堂氣氛寬松.
教師要注意發(fā)揮學(xué)生在教學(xué)中的主動(dòng)性和創(chuàng)造性,引導(dǎo)學(xué)生從繼承性學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向到創(chuàng)新性學(xué)習(xí),引導(dǎo)學(xué)生從自己的情感體驗(yàn)出發(fā)去獲得獨(dú)特的感受、體驗(yàn)和理解.只有這樣,學(xué)生才能在主動(dòng)積極的思維活動(dòng)中,加深理解和體驗(yàn),有所感悟和思考,不由自主地去學(xué)習(xí)、去鉆研、去體驗(yàn)、去創(chuàng)造,而這些活動(dòng)又必然會(huì)反過(guò)來(lái)促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展和教學(xué)質(zhì)量的提高.