淺談導數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用
2012-04-29 00:00:00顏世芹
數(shù)學學習與研究 2012年3期
【摘要】函數(shù)是中學數(shù)學的重要知識點，掌握函數(shù)最值的求法對解決數(shù)學問題有極大的幫助.而解此類題最重要的手段就是通過求導來解決，文章列舉了導數(shù)在求函數(shù)最值中的多種運用.
【關(guān)鍵詞】函數(shù)最值；函數(shù)單調(diào)性；函數(shù)思想；等價轉(zhuǎn)化思想；求導
求函數(shù)最值是歷年高考考查的重要內(nèi)容，它除了在函數(shù)綜合題中經(jīng)常出現(xiàn)，還常出現(xiàn)在其他類型題中，如平面幾何、立體幾何的綜合題中，在實際問題中考查最值也是常見考題，而解此類題最重要的手段就是通過求導來解決，現(xiàn)對導數(shù)在求最值時的應(yīng)用小結(jié)如下：
應(yīng)用一 求簡單函數(shù)的最值
若函數(shù)y=f(x)在［a，b］上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，在［a，b］內(nèi)必有最大值與最小值，此類問題只要通過求導數(shù)，列表求極值，再將所求極值與兩端點處函數(shù)值f(a)，f(b)進行比較就可最終確定下來最大值、最小值了.
例1 求函數(shù)f(x)=12x+sinx在區(qū)間［0，2π］上的最大值與最小值.
解 f′(x)=12+cosx，
令f′(x)=0，解得x1=23π，x2=43π.
列表：
x00，23π23π23π，43π43π43π，2π2π
f(x)0π3+3223π-32π
從表可知，函數(shù)f(x)的最大值是π，最小值是0.通過本例可見，此類題求解的關(guān)鍵是一定要將極值與端點處所對應(yīng)的函數(shù)值進行比較，從而最終確定最大值、最小值.
應(yīng)用二 利用導數(shù)求較復雜的函數(shù)最值問題
解決此類問題一般要運用等價轉(zhuǎn)化思想、換元等思想，將復雜的函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為較簡單的函數(shù)最值問題來求解.
例2 已知x，y為正實數(shù)，且滿足x2-2x+4y2=0，求xy的最大值.
分析 本題中有兩個變量，屬于條件最值問題，可將xy轉(zhuǎn)化為某一變量的函數(shù)，再利用導數(shù)求函數(shù)的最大值即可.
解 4y2=2x-x2.
∵y>0，∴y=122x-x2，xy=12x#8226;2x-x2.
由x>02x-x2≥00 設(shè)f(x)=12x2x-x2(0 當0 令f′(x)=0，得x=32或x=0（舍去）. 當x在(0，2］內(nèi)變化時，f′(x)，f(x)有如下變化情況： ∴當x=32時，f(x)的極大值為383，亦即xy的最大值為383. 另外，此題亦可運用換元法轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)解決，但無論用什么方法都要注意在轉(zhuǎn)化過程中變量的取值范圍，必須滿足題設(shè)條件. 應(yīng)用三 利用導數(shù)求解與最值有關(guān)的證明問題 此類問題一般是不等式的證明問題，通常將不等式問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最大值與最小值來求解，在此類題中函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等在其中都有體現(xiàn). 例3 求證：lnx+1x-12(x-1)2≥1+23(1-x)3. 分析 要證lnx+1x-12(x-1)2≥1+23(1-x)3， 只需證lnx+1x-12(x-1)2-1-23(1-x)3≥0(x>0)， 成立即可，而要證明lnx+1x-12(x-1)2-1+23(1-x)3≥0成立，只需令f(x)=lnx+1x-12(x-1)2-1+23(x-1)3，求f(x)在(0，+∞)上的最小值即可. 證明 設(shè)f′(x)=1x-1x2-(x-1)+2(x-1)2=(x-1)3#8226;2x+1x2. 令f′(x)=0，結(jié)合x>0，得x=1. 當0 所以f(x)在（0，1）上為減函數(shù)，在(1，+∞)上為增函數(shù)，所以當x=1時，f(x)取最小值f(1)=1，從而當x>0時，f(x)≥1恒成立. 即lnx+1x-12(x-1)2≥1+23(1-x)3成立. 綜上可見，與函數(shù)最值有關(guān)的問題雖然形式多樣，但只要運用求導的思想，所有問題都可以迎刃而解.
