習(xí)題課的教學(xué)中讓學(xué)生在“爭(zhēng)吵”中實(shí)現(xiàn)思維的飛躍

數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨(dú)特的作用，這也是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一，而思維能力的差異主要源于思維品質(zhì)的優(yōu)劣.思維品質(zhì)是指?jìng)€(gè)體思維活動(dòng)特殊性的外部表現(xiàn)，它包括思維的嚴(yán)密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質(zhì).所以我認(rèn)為在日常數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中尤其是在習(xí)題課的教學(xué)中應(yīng)該充分挖掘一些典型的習(xí)題，對(duì)于具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，既要掌握基礎(chǔ)知識(shí)達(dá)到知識(shí)技能目標(biāo)的要求，也要有意識(shí)地充分培養(yǎng)鍛煉學(xué)生形成良好的思維品質(zhì)，從而提高學(xué)生的思維能力，逐步養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，實(shí)現(xiàn)情感態(tài)度與價(jià)值觀的教學(xué)目標(biāo).

如何有效的組織高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)，是長(zhǎng)期以來(lái)數(shù)學(xué)教學(xué)研究中最熱門的課題.所以我們?cè)诮虒W(xué)的過(guò)程中不僅要求學(xué)生直接參與解題，更要求學(xué)生能參與解題的思維活動(dòng).解題活動(dòng)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最具有獨(dú)立性和創(chuàng)造性的活動(dòng)，它對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的能力，促進(jìn)學(xué)生形成良好品質(zhì)方面具有重要的作用.

新教材引進(jìn)導(dǎo)數(shù)之后，無(wú)疑為中學(xué)數(shù)學(xué)尤其是函數(shù)的教學(xué)注入了新的活力，它在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等方面有著廣泛的應(yīng)用.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一直是高考試題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一，筆者用下面一案例來(lái)加以說(shuō)明.

例 已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+(b-a)x（a，b為不同時(shí)為零的常數(shù)），導(dǎo)函數(shù)為f′(x).問(wèn)：函數(shù)y=f′(x)在(-1，0)內(nèi)是否有零點(diǎn)？

分析 一般的，若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a，b］上的圖像是一條不間斷的曲線，且f(a)#8226;f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點(diǎn).根據(jù)這個(gè)事實(shí)筆者給出此題的兩種解法如下：

解法一 f′(x)=3ax2+2bx+(b-a).

當(dāng)a=0時(shí)，x=-12適合題意；

當(dāng)a≠0時(shí)，3x2+2#8226;bax+ba-1=0，

令t=ba，則3x2+2tx+(t-1)=0.

令h(x)=3x2+2tx+(t-1)，∵h(yuǎn)-12=-14<0，

當(dāng)t>1時(shí)，h(0)=t-1>0，

∴y=h(x)在-12，0內(nèi)有零點(diǎn)；

當(dāng)t≤1時(shí)，h(-1)=2-t≥1>0，

∴y=h(x)在-1，-12內(nèi)有零點(diǎn).

因此，當(dāng)a≠0時(shí)，y=h(x)在(-1，0)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，函數(shù)y=f′(x)在(-1，0)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

解法二 f′(x)=3ax2+2bx+(b-a).

f′(0)=b-a，f′(-1)=2a-b，f′-13=b-2a3.

由于a，b不同時(shí)為零，

∴f′-13#8226;f′(-1)<0，故結(jié)論成立.

教學(xué)反應(yīng) 筆者在對(duì)這一道題目講評(píng)時(shí)，學(xué)生卻對(duì)上述兩種解法“不屑一顧”.有不少學(xué)生認(rèn)為這兩種解法雖然正確，化歸的目的也明確，但是化歸的方式卻不易在較短時(shí)間內(nèi)做到.更有甚者他們?cè)谒伎嫉倪^(guò)程中提供了一種似乎更加簡(jiǎn)單的解題思路.正是這種解題思路引起了不少“是非”，學(xué)生對(duì)此討論熱烈.筆者現(xiàn)將其討論過(guò)程大致整理如下：

學(xué)生分析過(guò)程：（正方表示提出觀點(diǎn)的部分學(xué)生，反方表示反對(duì)這種觀點(diǎn)的部分學(xué)生）

正方：已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+(b-a)x（a，b為不同時(shí)為零的常數(shù)）圖像是連續(xù)不斷的，且滿足f(-1)=f(0)，則函數(shù)f(x)必在區(qū)間(-1，0)存在極值.根據(jù)極值存在的條件知在區(qū)間(-1，0)內(nèi)必有一個(gè)值x0使得f′(x0)=0成立.所以函數(shù)f′(x)=0在區(qū)間(-1，0)至少存在一個(gè)零點(diǎn).

反方：對(duì)此函數(shù)f(x)滿足f(-1)=f(0)就斷言其函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1，0)上有極值未必太草率了.

正方：對(duì)于一個(gè)連續(xù)函數(shù)而言，無(wú)論怎么畫圖，由f(-1)=f(0)，在區(qū)間(-1，0)上不可能是單調(diào)的，所以此函數(shù)必然有極值.

反方：在對(duì)此題的解答過(guò)程中能否將這個(gè)結(jié)論加以證明呢？或者將其化歸為一個(gè)一般化的結(jié)論然后再證明呢？

……

于是筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了熱烈的討論.在教師的引導(dǎo)下最后筆者將學(xué)生對(duì)此問(wèn)題探究的結(jié)果用一個(gè)定理和一個(gè)結(jié)論來(lái)作如下說(shuō)明.證明略.

定理 如果一個(gè)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有極值，則它必有兩個(gè)極值且一個(gè)極大值、一個(gè)極小值.

結(jié)論 如果三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(m)=f(n)，則此函數(shù)f(x)在區(qū)間(m，n)上必有極值.

以上案例就是筆者在課堂的教學(xué)中學(xué)生因“不服”習(xí)題的標(biāo)準(zhǔn)解答而引發(fā)對(duì)此題另外一種解答的爭(zhēng)議.在“爭(zhēng)吵”中完成了對(duì)三次函數(shù)極值問(wèn)題的討論.如何有效地組織高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)，是歷年數(shù)學(xué)教學(xué)研究中最熱門的課題.所以我們?cè)诮虒W(xué)的過(guò)程中不僅要求學(xué)生直接參與解題，更迫切希望學(xué)生能參與解題的思維活動(dòng)中去，敢于發(fā)現(xiàn)并提出自己的見(jiàn)解.