一個性質(zhì)的“臺前幕后”

【摘要】本文通過教材的一道習題得到和一道練習題讓學生體會一個等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)的臺前幕后，從而感悟?qū)滩牡幕顚W活用.

【關鍵詞】等比數(shù)列前n項和性質(zhì)；活用教材

1背景描述

已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求證:S7，S14-S7，S21-S14也成等比數(shù)列.這是新教材《數(shù)列》（人教A版必修5中2.5）中“等比數(shù)列的前n項和”這節(jié)習題B組的第2題.

此問題的證明簡單（此處略去），但對此問題的一個推廣：若等比數(shù)列的前n項和為Sn，則Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…，Skm-S(k-1)m，…成等比數(shù)列.此結論我們在實際教學中一直把它作為一個等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)來運用以便解決實際的問題.

2問題的緣起

在處理本節(jié)課的習題作業(yè)的時候，完成了對上述結論的證明，為了讓學生對此結論進行實際運用，便給出了一道例題.

例 已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10=10，S20=30，求S30.

分析 讓學生對比這道題的兩種解法從而感受運用性質(zhì)的簡便.

解法一 （根據(jù)已知和等比數(shù)列的前n項和公式，這也是在學生的定式思維中形成的解法.）

當q=1時，不滿足條件，∴q≠1.

∵S10=10，S20=30，

∴a1(1-q10)1-q=10，①

a1(1-q20)1-q=30.②

由②÷①，得1+q10=3.

∴q10=2.

∴S30=a1(1-q30)1-q=a1(1-q10)1-q#8226;(1+q10+q20)=70.

解法二 （面對法一較為麻煩的計算，有了下面的性質(zhì)，很多學生不約而同選擇了此方法.）

∵S10，S20-S10，S30-S20仍成等比數(shù)列，又S10=10，S20=30，

∴(S20-S10)2=S10×(S30-S20)，∴S30=70.

這兩種解題方法，誰簡便就不言而喻.

3遺憾的生成

這時為了對這個知識的鞏固，以便加深學生對此方法的印象，我讓學生做了一道練習題.（注：志鴻優(yōu)化系列叢書《全優(yōu)設計》P35的3-1）

題目 已知等比數(shù)列{an}的前20項的和為21，前30項的和為49，求前10項的和.

對待此類型題目有了上述兩種方法的對比，很多同學很快就選擇了運算較為簡單的方法.（請一名同學在黑板上演示解題過程如下）

∵S10，S20-S10，S30-S20仍成等比數(shù)列，又S20=21，S30=49，

∴(S20-S10)2=S10×(S30-S20)，

即(21-S10)2=S10×(49-21).

整理，得(S10)2-70S10+441=0，∴S10=7或S10=63.

這時下面有很多同學也很快給出了和黑板前同學一樣的答案，并對照了練習冊后面的參考答案（參考答案的方法和答案也如此），看到與其吻合，臉上都露出了勝利者的微笑.正當大多數(shù)學生們在感嘆此性質(zhì)給解題帶來的簡便的同時，班上的一個男生用不太大聲的語調(diào)說：“老師我用了第一種你說的基本解法，我發(fā)現(xiàn)了不一樣的結果.”此同學提出“異見”，他平日是個性格內(nèi)向，成績中等，但是比較愛鉆研數(shù)學問題.看到如此情景，我覺得大力鼓勵他的時機來了，馬上微笑地說：“同學們，讓我們以熱烈的掌聲邀請此同學上臺來介紹他的解法.”他勇敢地走上講臺，邊說邊寫下了運算較為復雜的解答：

當q=1時，不滿足條件，∴q≠1.

∵由S20=21，S30=49，可得以下方程：

a1(1-q20)1-q=21，①

a1(1-q30)1-q=49.②

由①÷②，得3q20-4q10+4=0.

∴(3q10+2)(q10-2)=0，∴q10=2，q10=-23（舍）.

∴a11-q=-7，∴S10=a1(1-q10)1-q=7.

4遺憾的反思

此練習題很明顯第一種解法結果的兩個根，有一個為增根.那么此增根是怎么產(chǎn)生的？我們在今后解題的過程中怎樣來避免?

在解法一中，當S10=63時，已知S20=21.

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，因為S20-S10=q10(a1+a2+…+a10)=q10#8226;S10，所以有q10=-23，這顯然矛盾，即S10=63為增根.

為此我們今后對此性質(zhì)的運用來解決與此練習類似的問題的時候，一定要注意這個藏在“幕后”的陷阱.

5結 語

常說：“教材是幾代人集體智慧的結晶，具有很強的權威性和指導性.”我們也常常強調(diào)教材在教學中的重要地位，那么具體怎樣做才算抓住了教材，以至能做到活用教材呢？對教材知識進行探究性的分析、思索、練習，引導學生重視教材，活用教材，從課本的例題或練習出發(fā)，加以變式、改造、拓展，可以提高學生的綜合素質(zhì)，拓展思維空間，是培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力的重要舉措.通過這樣多方位、多角度、多層次的探究活動，可以使學生的思維品質(zhì)不斷得以提升，并從中體驗到數(shù)學發(fā)現(xiàn)給人帶來的愉悅感和成就感.

【參考文獻】

［1］普通高中數(shù)學課程標準教科書必修5（試驗）.北京：人民教育出版社，2003.

［2］高中同步測控全優(yōu)設計.北京：知識出版社，2010.