活用二次函數(shù)圖像與系數(shù)符號(hào)的關(guān)系解題

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與其系數(shù)的符號(hào)有著十分密切的關(guān)系：

a，b，c的代數(shù)式?jīng)Q定圖像的特征說(shuō) 明

a決定拋物線的開(kāi)口方向a>0開(kāi)口向上

a<0開(kāi)口向下

c決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置，交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，c)c>0與y軸交點(diǎn)在x軸上方

c=0拋物線過(guò)原點(diǎn)

c<0與y軸交點(diǎn)在x軸下方

-b2a決定對(duì)稱軸的位置，對(duì)稱軸為x=-b2aab>0對(duì)稱軸在y軸左側(cè)

ab<0對(duì)稱軸在y軸右側(cè)

b=0對(duì)稱軸是y軸

我們既可以根據(jù)a，b，c的符號(hào)判定拋物線的位置，也可以根據(jù)拋物線的位置確定a，b，c的符號(hào)或關(guān)系.下面以中考試題為例，談?wù)勥@類問(wèn)題的解法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

一、由系數(shù)符號(hào)確定拋物線的位置

例1 （2007年吉安市）已知a<0，b>0，c>0，那么拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)在( ).

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

分析 欲確定拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)位置，只需判定-b2a，4ax-b24a的符號(hào)即可.

解 由a<0，b>0，知x=-b2a>0.又由c>0，知4ac-b2<0，∴y=4ac-b24a>0，∴拋物線的頂點(diǎn)在第一象限內(nèi).故選A.

二、由拋物線的位置確定a，b，c的符號(hào)

例2 （蘭州市）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖1所示，則點(diǎn)A(ac，bc)在( ).圖 1

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

分析 通過(guò)觀察圖像，可直接得到a<0，c>0，再結(jié)合對(duì)稱軸x=-b2a>0，可判斷出b>0，從而問(wèn)題得解.

解 由二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖像可知：a<0，c>0，

∵對(duì)稱軸x>0，在y軸右側(cè)，即-b2a>0，

∴b>0，∴ac<0，bc>0，即點(diǎn)A(ac，bc)在第二象限.故選B.

例3 （濟(jì)南市）已知y＝ax2+bx的圖像如圖2所示，則y＝ax-b的圖像一定過(guò)( ).圖 2

A第一、二、三象限

B第一、二、四象限

C第二、三、四象限

D第一、三、四象限

分析 通過(guò)觀察圖像可以知道a和b的符號(hào)，從而可以判斷出y＝ax-b的圖像一定過(guò)的象限.

解 由圖可知a＜0，又由頂點(diǎn)可知-b2a＞0，∴b＞0，

∴y＝ax-b的圖像一定過(guò)第二、三、四象限.故應(yīng)選C.

三、綜合運(yùn)用圖像和a，b，c的符號(hào)特征解決相關(guān)問(wèn)題

圖 3

例4 （2007年南充市）如圖3是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖像的一部分，圖像過(guò)點(diǎn)A（-3，0），對(duì)稱軸為x＝-1.給出四個(gè)結(jié)論：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a-b＋c=0；④5a＜b.其中正確結(jié)論是( ).

A②④

B①④

C②③

D①③

分析 觀察所給的拋物線圖像，開(kāi)口向下，知a<0，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，知x=-b2a=-1，可得2a-b=0.拋物線與x軸交于不同的兩點(diǎn)，知b2-4ac>0，由圖像過(guò)點(diǎn)A（-3，0），對(duì)稱軸為x＝-1，可推得與x軸的另一交點(diǎn)為（1，0），故當(dāng)x=1時(shí)，a+b＋c=0.由2a-b=0，得b=2a，于是一定有5a＜b.

解 由以上分析知②③有誤，應(yīng)該選B.