【摘要】對于天然腸衣搭配問題,通過建立最大捆數(shù)和搭配方案的兩個通用模型,得出了三種規(guī)格的原料的最大捆數(shù),以及在保證捆數(shù)最多的情況下的原料搭配的最優(yōu)方案,根據(jù)這個方案可以“照方抓藥”進(jìn)行生產(chǎn),提高了勞動效率和原料的使用率.
【關(guān)鍵詞】天然腸衣;搭配方案;捆數(shù);模型
2011年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽D題:天然腸衣搭配問題.要求解決的問題是根據(jù)題目提供的成品規(guī)格表和原料描述表,設(shè)計(jì)一個原料搭配方案,工人根據(jù)這個方案“照方抓藥”進(jìn)行生產(chǎn).公司對搭配方案有以下具體要求:
(1)對于給定的一批原料,裝出的成品捆數(shù)越多越好;
(2)對于成品捆數(shù)相同的方案,最短長度最長的成品越多,方案越好;
(3)為提高原料使用率,總長度允許有±0.5米的誤差,總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少1根;
(4)某種規(guī)格對應(yīng)原料如果出現(xiàn)剩余,可以降級使用.如長度為14米的原料可以和長度介于7~13.5米的進(jìn)行捆扎,成品屬于7~13.5米的規(guī)格;
(5)為了食品保鮮,要求在30分鐘內(nèi)產(chǎn)生方案.
請建立上述問題的數(shù)學(xué)模型,給出求解方法,并對成品規(guī)格表、原料描述表給出的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行求解,給出搭配方案.
一、問題分析
假設(shè)某種規(guī)格對應(yīng)原料如果出現(xiàn)剩余,可以平移降級使用.如長度為7米、7.5米、8米的原料出現(xiàn)剩余,可以向下一級平移降級為5.5米、6米、6.5米使用.
因?yàn)樵先粲惺S嗫梢越导壥褂茫园凑諒拈L到短的順序進(jìn)行,對三種規(guī)格的原料來說:
1.每一捆的根數(shù)=該規(guī)格使用的總根數(shù)/該規(guī)格的總捆數(shù).
2.每一捆的長度=該規(guī)格使用根數(shù)的總長度/該規(guī)格的總捆數(shù).
以每一規(guī)格的最大捆數(shù)為目標(biāo),每一捆的根數(shù)和長度進(jìn)行約束,首先建立最大捆數(shù)的通用模型,分別就三種規(guī)格的具體數(shù)據(jù),利用LINGO軟件編程,求出最大捆數(shù)和每一規(guī)格在最大捆數(shù)下使用的具體根數(shù)(若有剩余考慮降級).
在最大捆數(shù)使用的具體根數(shù)確定的情況下,就每一捆的具體搭配建立通用的搭配模型,分別就三種規(guī)格的具體數(shù)據(jù),利用LINGO軟件編程,求出三種規(guī)格成品的搭配方案.
二、模型建立與求解
1最大捆數(shù)的優(yōu)化模型
用i=1,2,3表示規(guī)格數(shù),j=1,2,…,ni表示三種規(guī)格原料的分段個數(shù)(ni=8,14,24).
設(shè)ki表示第i規(guī)格成品的最大捆數(shù),pi表示第i規(guī)格成品的標(biāo)準(zhǔn)根數(shù),xijaij,bij分別表示第i規(guī)格第j段原料使用的根數(shù)、原料的長度、原料提供的根數(shù).
目標(biāo)函數(shù)為:maxki(i=1,2,3)
約束條件為:
s.t.pi-1≤∑nij=1xijki≤pi,對每捆根數(shù)的約束,
885≤∑nj=1aijxijki≤895,對每捆長度的約束,
xij≤bij,使用的根數(shù)不超過提供的原料根數(shù),
ki,xij均為整數(shù)(i=1,2,3;j=1,2,…,ni).(Ⅰ)
利用模型(Ⅰ)編制LINGO程序一,從第三規(guī)格開始,分別對三種規(guī)格求解.
(1)在第三規(guī)格中,a3j=14,145,15,…,25,255;b3j=35,29,30,…,0,1,取n3=24,p3=5;利用程序一解得:第三規(guī)格最大捆數(shù)k3=137,使用根數(shù)x3j=b3j;第三規(guī)格原料全部用完無剩余.
(2)將程序中的數(shù)據(jù)改為第二規(guī)格的數(shù)據(jù),利用程序一解得:第二規(guī)格最大捆數(shù)k2=37,使用根數(shù)為:x2j=0,0,10,25,21,23,21,18,31,23,22,59,18,25;第二規(guī)格原料剩余數(shù)為:b2j-x2j=24,24,10,0,0,…,0;剩余總數(shù)58根,根據(jù)假設(shè)可平移降級使用.
(3)同理,利用程序一解得:第一規(guī)格最大捆數(shù)k1=18,使用根數(shù)為:x1j=43,59,39,41,26,52,54,30;第一規(guī)格原料剩余數(shù)為:b1j-x1j=0,0,0,0,1,0,4,1;剩余總數(shù)6根.
2搭配方案的優(yōu)化模型
設(shè)wsj表示第s捆成品中使用的第j段原料的根數(shù)(s=1,2,…,ki;j=1,2,…,ni).將上述模型中求出的三種規(guī)格成品使用的根數(shù)xij進(jìn)行搭配扎捆(i=1,2,3).建立通用模型:
∑kis=1wsj=xij,扎捆中第j段總根數(shù)等于選定的根數(shù)(i=1,2,3),
pi-1≤∑nij=1wsj≤pi,對每捆根數(shù)的約束,
885≤∑nij=1aijwsj≤895,對每捆長度的約束(i=1,2,3),
wsj均為整數(shù),(s=1,2,…,ki;j=1,2,…,ni).(Ⅱ)
利用模型(Ⅱ)編制LINGO程序二,分別對三種規(guī)格求解.
(1)在第一規(guī)格中,取k1=18,n1=8,p1=20,a1j=3,35,4,…,6,65,x1j=43,59,39,41,26,52,54,30;利用程序二解出第一規(guī)格成品的搭配扎捆方案(略),由方案可以看出,18捆成品全是19根的.
(2)將程序中的數(shù)據(jù)改為第二規(guī)格的數(shù)據(jù),利用程序二解得:第二規(guī)格成品的搭配扎捆方案(略),由方案可以看出,37捆成品全是8根的.
(3)同理,利用LINGO程序解出第三規(guī)格成品的搭配扎捆方案(略),由方案可以看出,137捆成品中129捆是5根的,8捆是4根的.
三、結(jié)束語
兩個通用模型簡單方便,根據(jù)不同情況,只要將數(shù)據(jù)改變代入兩個模型中,運(yùn)用LINGO程序即可求出多種結(jié)果.篩選出最短長度最長的搭配方案,工人根據(jù)這個方案“照方抓藥”進(jìn)行生產(chǎn),提高了工作效率.將剩余原料平移降級使用,可以減少原料的剩余,最后僅剩余6根,大大提高了原料的使用率.該模型可推廣到不同材料的切割模式搭配、材料下料等問題中.
【參考文獻(xiàn)】
[1]姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型(第三版).北京:高等教育出版社,2003.
[2]肖華勇.實(shí)用數(shù)學(xué)建模大賽與軟件應(yīng)用.西北工業(yè)大學(xué)出版社,2008.