構(gòu)造函數(shù)與分離參數(shù)

【摘要】在解決參數(shù)的取值范圍時(shí)，通常會(huì)遇到有關(guān)不等式在某個(gè)區(qū)間內(nèi)“恒成立”的問題，對(duì)于這一類問題，如何求解呢？通過例題加以說明.

【關(guān)鍵詞】恒成立；構(gòu)造函數(shù)；分離參數(shù)

含參數(shù)的不等式在指定區(qū)間內(nèi)“恒成立”，求參數(shù)的取值范圍是一類經(jīng)常遇到的數(shù)學(xué)問題，解題過程充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.對(duì)于這類問題，有一些特殊方法解決，現(xiàn)舉幾個(gè)高中常見的例子加以比較說明.

一、構(gòu)造函數(shù)法

例1 若不等式2x-1>m(x2-1)對(duì)滿足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值范圍.

解 原不等式等價(jià)于(x2-1)m-(2x-1)<0.

設(shè)f(m)=(x2-1)m-(2x-1)，它是關(guān)于m的一次函數(shù)，由于|m|≤2，即-2≤m≤2，f(m)<0的充要條件是f(-2)<0且f(2)<0，因此，-2(x2-1)-(2x-1)<0且2(x2-1)-(2x-1)<0，解得-1+72

點(diǎn)撥 本題根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為以參數(shù)為變?cè)牟坏仁?，?gòu)造一次函數(shù)f(m)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性求解.

二、分離參數(shù)法

例2 設(shè)f(x)是定義在(-∞，3］上的減函數(shù)，已知f（a2-sinx）≤f(a+1+cos2x)對(duì)于x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解 原不等式等價(jià)于a+1+cos2x≤a2-sinx≤3對(duì)x∈R恒成立.

即a2≤3+sinx，①

a2-a≥1+cos2x+sinx.②

對(duì)x∈R同時(shí)恒成立，

令t(x)=3+sinx，

則①對(duì)x∈R恒成立a2≤［t(x)］min=2.③

令s(x)=1+cos2x+sinx=-sinx-122+94，

則②對(duì)x∈R恒成立a2-a≥［s(x)］max=94.④

由③④，可得

所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是-2，1-102.

點(diǎn)撥 用這種方法求恒成立不等式中的變量取值范圍問題可分三步：第一步，先分離參數(shù)；第二步，求分離后有關(guān)函數(shù)的最值；第三步，解關(guān)于參數(shù)的不等式.使用這種方法的前提是參數(shù)便于分離出來，例1若采用這種方法，所求參數(shù)x就不易分離出來.

例3 若不等式x2+ax+1≥0對(duì)一切x∈0，12成立，求a的取值范圍.

解 原不等式等價(jià)于a≥-x2-1x=-x+1x對(duì)一切x∈0，12恒成立，u=x+1x在0，12上是減函數(shù)，故當(dāng)x=12時(shí)，u取到最小值52.

∴-x+1x≤-52，

要使a≥-x+1x在0，12上恒成立，∴a≥-52.

另解 設(shè)f(x)=x2+ax+1，對(duì)一切x∈0，12，f(x)≥0恒成立，函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸x=-a2.

(1)當(dāng)-a2<0，即a>0，［f(x)］min=f(0)=1≥0成立，

∴a>0.

(2)當(dāng)0≤-a2≤1，即-1≤a≤0，［f(x)］min=f-a2=1-a24≥0，解得-2≤a≤2，∴-1≤a≤0.

(3)當(dāng)-a2>12，即a≤-1，［f(x)］min=f12=a2+54≥0，解得a≥-52，∴-52≤a≤-1.

綜上所述，a≥-52.

點(diǎn)撥 本題若采用構(gòu)造函數(shù)法來解決問題，需要構(gòu)造二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行分類討論，討論過程比較復(fù)雜；而本題若采用分離參數(shù)法，所求參數(shù)a是很容易分離出來的，再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)u=x+1x在0，12上的最小值問題，這樣處理相對(duì)來說簡(jiǎn)單點(diǎn).