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有這樣一道很著名的題:
問題1 求橢圓的內(nèi)接矩形的最大面積.
本題的解法也很“有名”:
解 設橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),由對稱性可知,內(nèi)接矩形的邊平行于坐標軸.設內(nèi)接矩形ABCD在第一象限的頂點為A(acosα,bsinα),則SABCD=4acosα#8226;bsinα=2absin2α≤2ab.
結論是正確的,但深層次的原因沒有找到.
本文先給出三角形的一個面積公式,然后解決更一般的問題.
圖 1
定理 如圖1,設A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),O為坐標原點,則
S△OAB=12|x1y2-x2y1|.(1)
證明 當直線AB的斜率不存在時,有x1=x2,結論顯然是成立的.
當直線AB的斜率存在時,直線AB的方程是
y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1),
即(y2-y1)x-(x2-x1)y+x2y1-x1y2=0.
原點到直線AB的距離d=|x2y1-x1y2|(x1-x2)2+(y1-y2)2,
∴S△OAB=12d#8226;|AB|
=12#8226;|x2y1-x1y2|(x1-x2)2+(y1-y2)2#8226; (x1-x2)2+(y1-y2)2
=12|x1y2-x2y1|.
綜上所述,結論成立.
這個公式可稱為三角形的坐標面積公式.當三角形沒有一個頂點在原點時,可用平移方法得到面積公式,本文不作討論.
注 已知三角形的三個頂點,其面積可由三個頂點坐標的行列式算出,由于教材中沒有這部分內(nèi)容,所以我們采用了一個變通的方法.
下面用公式(1)解決更一般的問題.
問題2 求橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的內(nèi)接平行四邊形的最大面積.
解 引理:橢圓的一組平行弦的中點的軌跡是一條過中心的弦(直徑),并且若平行弦的斜率不存在,則軌跡就是長軸;若平行弦的斜率為0,則軌跡就是短軸;若平行弦的斜率為k(k≠0),則軌跡所在直線的斜率為-b2a2k.
圖 2
現(xiàn)設ABCD為橢圓的內(nèi)接平行四邊形,設一組對邊AB,CD中點為M,N,由引理知,中位線MN所在直線過橢圓的中心,同理,另一條中位線PQ所在直線也過橢圓中心,而兩條中位線的交點恰是平行四邊形的中心,故平行四邊形的中心與橢圓的中心重合.
如圖2,ABCD是橢圓的內(nèi)接矩形,則SABCD=4S△OAB.
設A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ),則
S△OAB=12|acosα#8226;bsinβ-acosβ#8226;bsinα|
=ab2|cosαsinβ-sinαcosβ|
=ab2|sin(α-β)|≤ab2,
從而SABCD≤2ab(當且僅當|sin(α-β)|=1取等號).
現(xiàn)設ABCD是橢圓的內(nèi)接矩形,若對邊AB和CD的斜率為k(k≠0),則這兩邊中位線的斜率為-b2a2k,而這正是鄰邊AD的斜率.∵AB⊥AD,∴-b2a2k#8226;k=-1,即a2=b2,此不可能,所以AB的斜率為0,因此,橢圓的內(nèi)接矩形的邊平行于對稱軸.由上面的解答可知,其最大面積為2ab(取到最大面積的充要條件同上).
由以上分析可知,橢圓的內(nèi)接矩形的邊平行于對稱軸不能由橢圓的對稱性簡單推出.
【參考文獻】
張澤湘.二次曲線.上海:上海教育出版社,1981.