默比烏斯與古羅馬的默比烏斯環(huán)

夢隱

本期封面是德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家默比烏斯（August Ferdinand Mbius，1790—1868）的畫像。默比烏斯生于德國薩克森州的普福爾塔（Pforta），據(jù)說其家族與宗教改革領(lǐng)袖馬丁·路德有關(guān)，他就讀的普福爾塔中學(xué)出了許多名人，包括歷史學(xué)家蘭克（Leopold von Ranke，1795—1886）與哲學(xué)家尼采（Friedrich Wilhelm Nietzsche，1844—1900）。成年后的默比烏斯相繼在萊比錫大學(xué)、哥廷根大學(xué)與哈勒大學(xué)學(xué)習(xí)，1815年在數(shù)學(xué)家普法夫（Johann Friedrich Pfaff，1765—1825）指導(dǎo)下完成了題為《恒星之掩星》的博士論文。普法夫也是大數(shù)學(xué)家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855）的導(dǎo)師，因此名義上默比烏斯與高斯師出同門；不過高斯比他大13歲，數(shù)學(xué)成就更是其他任何人都無法企及的。

實(shí)際上，1813年默比烏斯曾向高斯學(xué)習(xí)理論天文學(xué)，當(dāng)時高斯已擔(dān)任哥廷根天文臺臺長多年了。1816年，默比烏斯被任命為萊比錫大學(xué)的天文學(xué)與高等力學(xué)教授，直到1868年去世，他一直在這所德國第二古老的大學(xué)工作。同高斯一樣，默比烏斯的表面身份是天文學(xué)家，然而他們兩人的天文學(xué)工作都幾乎鮮為人知，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域卻千古留名。以默比烏斯命名的數(shù)學(xué)概念或工具包括默比烏斯平面、默比烏斯變換、默比烏斯函數(shù)、默比烏斯配置、默比烏斯反演等，涉及射影幾何、數(shù)論與拓?fù)鋵W(xué)等多個數(shù)學(xué)分枝，但是最廣為人知的還是他晚年發(fā)現(xiàn)的一種既簡單又奇妙的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，它可以通過把一個長條紙帶旋轉(zhuǎn)180°之后再將兩端粘上制得，這就是被后人稱為“默比烏斯帶”或“默比烏斯環(huán)”的數(shù)學(xué)模型：這是只有一個表面的環(huán)狀物，如果一只螞蟻沿著默比烏斯環(huán)前行，它將永遠(yuǎn)走不到頭；再假如這只螞蟻有意識，它知道順時針或逆時針方向是什么意思，但是游歷一周返回出發(fā)點(diǎn)時卻發(fā)現(xiàn)原先認(rèn)識的旋轉(zhuǎn)方向完全相反了。用拓?fù)鋵W(xué)的術(shù)語講，默比烏斯環(huán)是一個不可定向（non-orientable）的表面；實(shí)際上每個不可定向的曲面都包含一個默比烏斯環(huán)。

另一位叫利斯廷（Johann Benedict Listing，1808—1882）的德國數(shù)學(xué)家也提出了這一單面環(huán)帶的幾何模型，時間可能還要早幾年，他也是“拓?fù)鋵W(xué)”（Topologie）這一術(shù)語的提出者。不過默比烏斯環(huán)（或帶）的叫法已經(jīng)約定俗成，況且他研究這一題材的軌跡也更為清晰。為了準(zhǔn)備參加法國科學(xué)院有關(guān)多面體幾何理論的競賽，默比烏斯曾考慮通過折疊與粘合三角形來逐步構(gòu)造多面體，在這一過程中發(fā)現(xiàn)了單面曲面。在他身后出版的著作全集里，收錄了一篇未曾發(fā)表的1858年文稿，其中包含了圖1中那種扭轉(zhuǎn)了3、4、5個半圈的環(huán)帶：默比烏斯系統(tǒng)地分析了這類環(huán)帶，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)180°的次數(shù)如果是奇數(shù)，產(chǎn)生的環(huán)帶只有單面；如果次數(shù)是偶數(shù)，則環(huán)帶仍然具有正反兩面。默比烏斯環(huán)還有很多特性，這里省略。

制作一個默比烏斯環(huán)是如此容易，很難想象沒有人更早發(fā)現(xiàn)過它，只不過沒有認(rèn)識其數(shù)學(xué)內(nèi)涵而已。的確，在利斯廷與默比烏斯之前，沒有人從數(shù)學(xué)上去考察它。有趣的是，在意大利的古羅馬時代遺跡森提農(nóng)（Sentinum）的別墅中，人們發(fā)現(xiàn)了一幅公元200—250年前后制作的馬賽克壁畫，畫面中央是羅馬神話中的永恒時間之神，站在一條繪著黃道十二宮的環(huán)帶之中，仔細(xì)觀察，可以發(fā)現(xiàn)這是一條默比烏斯環(huán)。這件藝術(shù)珍品后來被德國人買走，從1828年起就在慕尼黑的古代雕塑博物館展出。默比烏斯或利斯廷是否參觀過這件藝術(shù)品就不得而知了。

封二圖A就是這幅馬賽克壁畫。永恒時間之神的名字是Aion，有人翻譯成“艾詠”或“艾永”，我則建議譯作“愛永”，其形象通常是一個裸體男性，伴隨象征死而復(fù)生的蛇或周而復(fù)始的輪環(huán)。圖中的愛永站在一個象征時間輪回的默比烏斯環(huán)狀的黃道帶內(nèi)，帶面上鑲著代表十二宮的圖形（十二宮的順序不夠準(zhǔn)確）。黃道環(huán)兩側(cè)各有一棵大樹，左邊的枝頭似已結(jié)出果實(shí)，右邊正在長出新葉。右側(cè)地面上半臥的女子是羅馬人的大地女神特魯斯（Tellus），相當(dāng)于希臘神話的蓋婭（Gaia），圍繞她的四名孩童象征一年中的四個季節(jié)。

古羅馬壁畫、雕塑乃至錢幣上都有伴著黃道帶的愛永形象，但是莫比烏斯環(huán)形狀的圖像可能僅此一件。封三圖C是在法國發(fā)現(xiàn)的羅馬時代馬賽克拼嵌地板中的愛永形象，圖中的黃道帶不是默比烏斯環(huán)。

默比烏斯環(huán)引起許多藝術(shù)家的興趣，最有代表性的就是荷蘭畫家埃舍爾（Maurits Cornelis Escher，1898—1972）了。封二圖B和封三圖D就是他的作品，深得科學(xué)家們的喜愛。李政道在《科學(xué)與藝術(shù)》一文中就引用了埃舍爾的《騎士》圖，以此說明用藝術(shù)手法表達(dá)科學(xué)思想的意義。楊振寧則將它作為自己《基本粒子發(fā)現(xiàn)簡史》（上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1963）的封面，借此闡釋物理學(xué)中對稱、互補(bǔ)與締合變換等觀念。

默比烏斯環(huán)給一些建筑師帶來靈感，同時也成了一些裝潢藝術(shù)家的素材，圖2其實(shí)就是默比烏斯1858年手稿中那個壓扁了的默比烏斯環(huán)，現(xiàn)已成為國際公認(rèn)的回收循環(huán)利用標(biāo)志，有許多不同的變體。

使用皮帶輪作為傳動設(shè)置的工匠可能早就發(fā)現(xiàn)并利用了默比烏斯環(huán)的性質(zhì)，因為將長條皮帶扭轉(zhuǎn)半圈后再聯(lián)結(jié)起來，帶子的兩面都會接觸到旋轉(zhuǎn)的輪子，磨損的速度只有正常安裝形式的一半；此外，這種形式的傳動帶也不太容易左右卷曲。對于這種技術(shù)的早期文字記錄可以追溯到1871年，那是在莫比烏斯的著作出版之后；不過中世紀(jì)穆斯林伊斯梅爾·賈扎里（Ismail al-Jazari，1136—1206）的一幅繪圖手稿中就出現(xiàn)了默比烏斯環(huán)狀配置的鏈條泵圖像。

默比烏斯環(huán)也經(jīng)常出現(xiàn)在科幻小說、電子游戲與影視作品中，通常的梗子就是把宇宙想象成如同默比烏斯環(huán)那樣的構(gòu)造，如《黑暗之墻》。1950年，美國天文學(xué)家多伊奇（Armin Joseph Deutsch，1918—1969）發(fā)表了一篇科幻短篇《一個叫做默比烏斯的地鐵線》（A Subway Named Mobius），描繪波士頓地鐵開辟了一條按照默比烏斯環(huán)設(shè)計的新線路，進(jìn)入這條線路的波士頓MTA86號列車失蹤了，系統(tǒng)管理者搞不明白它如何消失了，更無法解釋它好像仍消耗電力在系統(tǒng)里運(yùn)行。2019年美國華特迪斯尼推出的《復(fù)仇者聯(lián)盟4：終局之戰(zhàn)》（Avengers： Endgame）中，大英雄托尼·斯塔克（Tony Stark）嘗試借由莫比烏斯環(huán)模擬時空攔截與時間指向，竟然獲得成功。

參考資料

［1］ 李國偉. 默比烏斯把紙帶轉(zhuǎn)了幾圈［A］. 李國偉. 數(shù)學(xué)文化攬勝集（藝數(shù)篇）［M］. 北京： 高等教育出版社， 2004．