淺談數(shù)學(xué)課堂中數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)

現(xiàn)行職業(yè)技術(shù)學(xué)校數(shù)學(xué)教材大多有“以應(yīng)用為目的，以必需夠用為度”和少而精的編撰原則，不少學(xué)校的數(shù)學(xué)教研活動(dòng)也常把教學(xué)內(nèi)容和課時(shí)數(shù)的多與少，有哪些數(shù)學(xué)知識(shí)在后續(xù)課程是否用到等作為重要議題之一，這里教材的編撰、教學(xué)計(jì)劃的擬訂和實(shí)際教學(xué)內(nèi)容主要是圍繞著高等數(shù)學(xué)的表層知識(shí)，即概念、性質(zhì)、定理、公式及例題等方面做文章。當(dāng)然，高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論和基本技能是每個(gè)從業(yè)者應(yīng)該認(rèn)真把握，以通俗易懂、深入淺出的方式傳授給學(xué)生。但僅做到這一點(diǎn)還不夠，還應(yīng)該善于將隱含在表層知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想加以充分挖掘和利用，所謂數(shù)學(xué)思想就是人們?cè)跀?shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的歸納概括，提煉出的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本觀點(diǎn)，一旦領(lǐng)會(huì)了高度概括的數(shù)學(xué)思想，也就掌握了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的規(guī)律性，學(xué)習(xí)就會(huì)由自在變?yōu)樽杂X(jué)，由被動(dòng)變?yōu)橹鲃?dòng)。不論教學(xué)內(nèi)容如何變更刪減，理論層次如何降低，圍繞培養(yǎng)目標(biāo)，針對(duì)學(xué)生實(shí)際，在教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想及其應(yīng)用還是很有必要的。筆者以為除了在中學(xué)階段學(xué)生初步掌握的集合思想、分類(lèi)思想、數(shù)行結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等，在高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中還應(yīng)著力培養(yǎng)學(xué)生的以下數(shù)學(xué)思想。

一、極限思想

極限是高等數(shù)學(xué)中最重要的基本概念，工具和方法，它從數(shù)量上描述變量在無(wú)限變化過(guò)程中的變化趨勢(shì)，也是把“有限”與“無(wú)限”、“靜止”與“運(yùn)動(dòng)”、“量變”與“質(zhì)變”聯(lián)系起來(lái)的一種數(shù)學(xué)思想。對(duì)于習(xí)慣了用靜止觀點(diǎn)、孤立觀點(diǎn)解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的高職學(xué)生來(lái)說(shuō)，極限概念和思想內(nèi)涵較難把握，但對(duì)極限思想的萌發(fā)背景和直觀性描述還是不難理解的。比如在引入極限概念之前向?qū)W生介紹中國(guó)古代哲學(xué)家莊周的“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”這句話，實(shí)際上就是把木棰長(zhǎng)度的變化納入一個(gè)無(wú)限的過(guò)程中去研究。基于直觀的事例，卻蘊(yùn)涵了極限思想，由此引入極限的描述性定義，學(xué)生大多比較容易接受。從極限思想的直觀理解到準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)刻畫(huà)這就需要一個(gè)由老知識(shí)向新知識(shí)，由不習(xí)慣到習(xí)慣的過(guò)渡過(guò)程。極限思想的準(zhǔn)確理解和把握，并不是幾個(gè)課時(shí)就能達(dá)到目的，如果學(xué)生不能接受，不應(yīng)喪失信心。隨著高等數(shù)學(xué)后續(xù)內(nèi)容連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和微分、積分以及無(wú)窮級(jí)數(shù)概念的引入，通過(guò)反復(fù)的接觸和應(yīng)用，逐步建立變量數(shù)學(xué)的思維方式，極限思想會(huì)逐漸成為學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的有力工具。

二、化歸思想

化歸思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一。所謂化歸就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思，即把待解決和未解決的問(wèn)題，通過(guò)變換、轉(zhuǎn)化、歸結(jié)到一類(lèi)已解決或者比較容易解決的問(wèn)題中去，最終求得原問(wèn)題的解決。以極限、導(dǎo)數(shù)和微分、積分的運(yùn)算為例，都可以看到化歸思想在其中的應(yīng)用。如在各種極限計(jì)算中，其實(shí)最終都可以將所求極限通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒?，轉(zhuǎn)化為以下三種基本極限問(wèn)題：

（1）特殊極限

（2）兩個(gè)重要極限

（3）不定式型，型的極限。

轉(zhuǎn)化的主要手段就是對(duì)待求極限式進(jìn)行恒等變形，變量代換，等價(jià)無(wú)窮小代換，或應(yīng)用四則運(yùn)算法則，對(duì)數(shù)變形等。又如所有的積分運(yùn)算包括不定積分、定積分、重積分等，其運(yùn)算最終都是通過(guò)各種方法手段將其化歸為不定積分的計(jì)算問(wèn)題。

由于化歸的指向可以界定為簡(jiǎn)單化、熟悉化和規(guī)范化，因此化歸思想應(yīng)著意于尋找待解決問(wèn)題與己有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的邏輯關(guān)聯(lián)，通過(guò)觀察、類(lèi)比、聯(lián)想、探索化歸途徑及目標(biāo)，從而獲得問(wèn)題的解決。很顯然，高等數(shù)學(xué)中的這種化繁為簡(jiǎn)、化隱為顯、化難為易、化未知為已知、化一般為特殊、化抽象為具體的數(shù)學(xué)思想方法，一旦成為學(xué)生的化歸意思，其數(shù)學(xué)思維能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力必將有一個(gè)質(zhì)的飛躍。

三、數(shù)學(xué)建模思想

應(yīng)用能力和動(dòng)手能力的培養(yǎng)是職業(yè)計(jì)算教育的主要特色，作為重要基礎(chǔ)課的高等數(shù)學(xué)其教學(xué)重點(diǎn)也是數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)和提高，現(xiàn)在不少學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)望而生畏，覺(jué)得數(shù)學(xué)抽象難懂，認(rèn)為數(shù)學(xué)沒(méi)有多大用處。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的一個(gè)重要原因就是他們沒(méi)有發(fā)現(xiàn)和體會(huì)到數(shù)學(xué)的實(shí)際功效，而對(duì)高職學(xué)生高等數(shù)學(xué)應(yīng)用能力培養(yǎng)的一個(gè)很好的途徑就是加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)。眾所周知，數(shù)學(xué)來(lái)源與實(shí)際，數(shù)學(xué)理論是從不同事物的紛繁復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系抽象反映相同規(guī)律的共性和結(jié)果的科學(xué)，而數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象和簡(jiǎn)單化，建立描述實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，然后用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，并且一般要借助于計(jì)算機(jī)來(lái)求解模型，最后，其結(jié)果必須接受實(shí)際的檢驗(yàn)，并反復(fù)修改，完善這個(gè)模型和結(jié)果。應(yīng)該說(shuō)數(shù)學(xué)建模思想非常適合高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的“降低理論，加強(qiáng)應(yīng)用，增加實(shí)踐性環(huán)節(jié)”的指導(dǎo)思想，雖然現(xiàn)行高職高等數(shù)學(xué)中也有如利用導(dǎo)數(shù)求極值、最值等應(yīng)用性知識(shí)內(nèi)容，但這些內(nèi)容大多是作為數(shù)學(xué)概念和定理的附屬，更多的是對(duì)高等數(shù)學(xué)理論知識(shí)的驗(yàn)證，并且它們往往偏重于幾何、物理上的應(yīng)用，應(yīng)用范圍相當(dāng)狹窄。這就要求要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想，將其融于高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)之中。在教學(xué)過(guò)程中主要采用加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)原理和背景的介紹，注重直觀性闡述，強(qiáng)化微積分理論的數(shù)學(xué)建模方法，不僅介紹微積分在幾何、物理上的應(yīng)用，還要多舉一些應(yīng)用微積分解決非數(shù)學(xué)的實(shí)際問(wèn)題。實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)建模思想的確立能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，有助于開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)和形成，同時(shí)，學(xué)生的實(shí)踐能力、寫(xiě)作能力乃至于團(tuán)結(jié)協(xié)助能力都能得到不同程度的鍛煉和提高。

當(dāng)然，高職高等數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)思想，不只是以上三種，還包括如逼近思想、相對(duì)思想、近似思想以及美學(xué)思想等。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的核心與靈魂，數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶是短暫的，數(shù)學(xué)思想方法的掌握是長(zhǎng)遠(yuǎn)的。知識(shí)使學(xué)生收益于一時(shí)，思想和方法使學(xué)生收益終身。

（作者單位：駐馬店高級(jí)技工學(xué)校）