拋物線對稱性的應(yīng)用

我們知道，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）是軸對稱圖形，它的對稱軸是直線x=-，頂點在對稱軸上. 在解決有關(guān)拋物線的問題時，若能巧用拋物線的對稱性，?？墒盏匠銎嬷苿?、簡捷明快之效.

一、比較大小

例1 若二次函數(shù)y=x2-6x+c的圖像過A（-1， y），B（2， y），C（3+， y）三點，則y，y，y大小關(guān)系正確的是（ ）.

A. y>y>y B. y>y>y C. y>y>y D. y>y>y

分析：二次函數(shù)y=x2-6x+c的對稱軸為x=3，點A、B都在對稱軸的左側(cè)，而點C在對稱軸的右側(cè)，不便利用二次函數(shù)的性質(zhì)比較y值大小. 因此應(yīng)設(shè)法將點A、B、C轉(zhuǎn)化成對稱軸同側(cè)的點，然后再利用二次函數(shù)的性質(zhì)比較y值大小.

解：由于二次函數(shù)y=x2-6x+c的對稱軸為x=3，因此C（3+，y）關(guān)于對稱軸x=3的對稱點C′（3-，y），而點A、B和C′都在對稱軸左側(cè)，且-1<3-<2，又a=1>0，在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而減小，所以y>y>y，答案選B.

點評：由于已知三點中有兩點都在對稱軸左側(cè)，故將另一點也利用拋物線的對稱性轉(zhuǎn)移到對稱軸的左側(cè)，然后再利用二次函數(shù)的性質(zhì)比較大小.

二、求拋物線與x軸的一交點坐標(biāo)

例2 二次函數(shù)y=-x2+2x+k的部分圖像如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一個解是x=3，另一個解x=（ ）.

A. 1 B. -1 C. -2 D. 0

分析：觀察圖像可知拋物線的對稱軸為x=1，且拋物線與x軸的一交點橫坐標(biāo)為3，利用拋物線的對稱性不難求出拋物線與x軸的另一交點橫坐標(biāo).

解：拋物線的對稱軸為x=1，且與x軸的一交點橫坐標(biāo)為3，由拋物線的對稱性不難求出與x軸的另一交點的橫坐標(biāo)為-1，即一元二次方程-x2+2x+k=0的另一個解x=-1，答案選B.

點評：本題的常規(guī)解法是利用一元二次方程解的定義，將x=3代入一元二次方程-x2+2x+k=0求出k的值，然后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出另一解，但不如利用拋物線的對稱性求解簡捷，因為這樣相當(dāng)于少用“拋物線的對稱軸為x=1”這個已知條件.

三、求二次函數(shù)的解析式

例3 拋物線y=ax2+bx+c上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：

從上表可知，下列說法中正確的是？搖？搖 ？搖？搖.（填寫序號）

①拋物線與x軸的一個交點為（3，0）

②函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值為6

③拋物線的對稱軸是x=

④在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大

分析：除①③④外，②需要求出二次函數(shù)的解析式. 先從表格中找出y值相等的兩對數(shù)值（即拋物線上的一對對稱點坐標(biāo)），這樣可以求出拋物線的對稱軸. 又從表格中可以找到拋物線與x軸的一交點坐標(biāo)，利用對稱性容易求出與x軸的另一交點坐標(biāo).

解：由（-1， 4）、（2， 4）可知拋物線的對稱軸為x==. 由（-2， 0）結(jié)合拋物線的對稱性可知拋物線與x軸的另一個交點為（3，0）.

設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-2）（x+3），將（0， 6）代入，得-6a=6，∴a=-1.

∴二次函數(shù)的解析式為y=-（x-2）（x+3），即y=-x2+x+6.

正確說法為①③④.

點評：如果從表格中僅能找到y(tǒng)值相等的兩對數(shù)值（即拋物線上的一對對稱點坐標(biāo)），而不能找到拋物線與x軸的一交點坐標(biāo)，又該如何利用拋物線的對應(yīng)性呢？以（-1， 4）、（2， 4）為例，受兩點式的啟發(fā)，此時可設(shè)y=a[x-（-1）]（x-2）+4，即y=a（x+1）（x-2）+4，過程留給同學(xué)們完成.

四、判斷函數(shù)值的正負(fù)

例4 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖所示，現(xiàn)有下列結(jié)論：①b2-4ac>0；②a>0；③b>0；④c>0；⑤9a+3b+c<0，則其中結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）個.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

分析：本題主要考查二次函數(shù)的圖像與系數(shù)符號間的關(guān)系. 可根據(jù)拋物線的開口方向、與坐標(biāo)軸的交點情況、對稱軸的位置等確定.

解：由拋物線的開口向上可知a>0；拋物線交y軸負(fù)半軸可知c<0；拋物線與x軸有兩個交點可知b2-4ac>0；對稱軸為x=1，得-=1，所以b=-2a<0. 注意到9a+3b+c是x=3時的函數(shù)值. 由拋物線的對稱性可知，這個值與x=-1時的值相等. 觀察圖像可知，當(dāng)x=-1時函數(shù)值小于0，從而9a+3b+c<0. 所以正確的結(jié)論為①②⑤，答案選B.

點評：在判斷9a+3b+c的正負(fù)性時，一般方法是將b=-2a代入9a+3b+c，化簡得3a+c. 然后再根據(jù)x=-1時函數(shù)值小于0，得a-b+c<0，再將b=-2a代入a-b+c，化簡得3a+c. 從而3a+c<0，即9a+3b+c<0. 這樣做顯然麻煩，且具有一定的盲目性. 不如利用拋物線的對稱性求解簡便. 不過在利用拋物線的對稱性判斷9a+3b+c的正負(fù)性時，首先要能夠觀察出9a+3b+c是x=3時的函數(shù)值.

五、求陰影部分的面積

例5 如圖，邊長為2的正方形ABCD的中心在直角坐標(biāo)系的原點O，AD∥x軸，以O(shè)為頂點且過A、D兩點的拋物線與以O(shè)為頂點且過B、C兩點的拋物線將正方形分割成八部分. 則圖中陰影部分的面積是？搖？搖？搖 ？搖.

分析：本題主要考查正方形和拋物線的對稱性. 可根據(jù)正方形和拋物線的對稱性對陰影部分的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

解：兩條坐標(biāo)軸把正方形的面積分為左上、左下、右上、右下四個部分. 由正方形和拋物線的對稱性可知，左上陰影部分與右上空白部分關(guān)于y軸對稱；左下空白部分與右下陰影部分也關(guān)于y軸對稱，因此左上陰影部分與右上陰影部分的面積和等于正方形面積的四分之一，左下陰影部分與右下陰影部分的面積和也等于正方形面積的四分之一，整個圖形中陰影部分的面積和等于正方形面積的一半，即×22=2.

點評：實際上，左上陰影部分與左下空白部分也關(guān)于y軸對稱，右上陰影部分與右下空白部分也關(guān)于y軸對稱，也可以據(jù)此求解.

六、求最值

例6 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點 A（-2，-4），OB=2. 拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、O、B三點.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點M是拋物線對稱軸上的一點，試求MO+MA的最小值.

分析：（1）OB=2知點B（2， 0），又拋物線過原點和點 A（-2， -4），利用待定系數(shù)法不難求其解析式；（2）利用拋物線的對稱性對MO+MA進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用兩點之間線段最短和勾股定理求解.

解：（1）由OB=2知點B（2， 0）. 將A（-2， -4），B（2， 0），O（0， 0）代入y=ax2+bx+c，得4a-2b+c=-4，4a+2c+c=0，c=0. 解得a=-，b=1，c=0.

所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+x.

（2）如圖，設(shè)拋物線的對稱軸為直線l，則O、B關(guān)于直線l對稱.

所以MB=MO. 所以MO+MA=MB+MA.

連接AB，交直線l于點M，則線段AB的長即為MO+MA的最小值.

過點A作AN⊥x軸，垂足為點N，則AN=4，BN=2-（-2）=4.

由勾股定理，得AB===4.

點評：在求MO+MA的最小值時，也可做出點A關(guān)于直線l的對稱點A′，則OA′即為MO+MA的最小值.