淺析中職數(shù)學函數(shù)的對稱性

函數(shù)是中職數(shù)學教學的主線，也是中職數(shù)學教學內(nèi)容的核心，更是整個中職數(shù)學的基礎。函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質，對稱關系廣泛存在于數(shù)學問題之中，利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決。函數(shù)的性質是中職數(shù)學對口高考的重點與熱點，本文擬通過函數(shù)自身的對稱性和不同函數(shù)之間的對稱性這兩個方面來淺析函數(shù)對稱有關的性質。

一、函數(shù)自身的對稱性

1.定理1：函數(shù)y=f(x)的圖像關于點A(a，b)對稱的充要條件是f(x)+f(2a－x)=2b。

證明：

（1）必要性

設點P(x，y)是y=f(x)圖像上任一點，

∵點P(x，y)關于點A(a，b)的對稱點P′（2a－x，2b－y）也在y=f(x)圖像上，∴2b－y=f(2a－x)

即y+f(2a－x)=2b，故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得證。

（2）充分性

設點P(x0，y0)是y=f(x)圖像上任一點，則y0=f(x0)。

∵f(x)+f(2a－x)=2b

∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。

故點P′（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)圖像上，而點P與點P′關于點A(a，b)對稱，充分性得證。

推論：函數(shù)y=f(x)的圖像關于原點O對稱的充要條件是f(x)+f(－x)=0。

2.定理2：①若函數(shù)y=f(x)圖像同時關于點A(a，c)和點B(b，c)成中心對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a－b|是其一個周期；②若函數(shù)y=f(x)圖像同時關于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a－b|是其一個周期；③若函數(shù)y =f(x)圖像既關于點A(a，c)成中心對稱又關于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數(shù)，且4|a－b|是其一個周期。

筆者僅以上述③的證明為例：

∵函數(shù)y=f(x)圖像關于點A(a，c)成中心對稱，

∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：

f(2b－x)+f[2a－(2b－x)]=2c………………①

又∵函數(shù)y=f(x)圖像關于直線x=b成軸對稱，

∴f(2b－x)=f(x)代入①得：

f(x)=2c－f[2(a－b)+x]…………②

用2（a－b）－x代x，得：

f[2(a－b)+x]=2c－f[4(a－b)+x]代入③，得：

f(x)=f[4(a－b)+x]，故y=f(x)是周期函數(shù)，且4|a－b|是其一個周期。

二、不同函數(shù)對稱性的探究

1.定理3：函數(shù)y=f(x)與y=2b－f(2a－x)的圖像關于點A(a，b)成中心對稱。

2.定理4：①函數(shù)y=f(x)與y=f(2a－x)的圖像關于直線x=a成軸對稱；②函數(shù)y=f(x)與a－x=f(a－y)的圖像關于直線x+y=a成軸對稱；③函數(shù)y=f(x)與x－a=f(y+a)的圖像關于直線x－y=a成軸對稱。

筆者僅以定理4中③的證明為例：

∵設點P(xo，yo)是y=f(x)圖像上任一點，則yo=f(x0)。設點P(x，y)關于直線x－y=a的軸對稱點為P′（x1，y1），則x1=a+y0，y2=xo－a，

∴xo=a+y1，yo=x1－a代入yo=f(xo)之中，得x1－a=f(a+y1)

∴點P′（x1，y1）在函數(shù)x－a=f(y+a)的圖像上。

同理可證：函數(shù)x－a=f(y+a)的圖像上任一點關于直線x－y=a的軸對稱點也在函數(shù)y=f(x)的圖像上。故定理4中的③成立。

（作者單位：江西省贛縣職業(yè)技術學校）