數(shù)學期望與經(jīng)濟決策

摘 要：本文通過應用高中數(shù)學中概率統(tǒng)計尤其是數(shù)學期望的知識，初步討論了數(shù)學期望在經(jīng)濟決策中的應用。通過例舉生活中的實例，展示了數(shù)學的靈活應用，以及數(shù)學知識在經(jīng)濟方面帶給我們的幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)學；應用；數(shù)學期望；經(jīng)濟學

通過一直以來的數(shù)學學習，我們知道數(shù)學最直觀的特點就是簡明，它可以直觀的表達數(shù)量關(guān)系與價值體系。而且，數(shù)學模型的建立與推導，也可以用于經(jīng)濟學家定性的分析一個本來變化情況非常復雜的經(jīng)濟想象。下面，我通過應用我們高中所學的概率統(tǒng)計，尤其是關(guān)于數(shù)學期望的知識，初步探討了數(shù)學在經(jīng)濟學中的應用舉例。為我們對于數(shù)學以及經(jīng)濟學的深入學習提供了一定的方向。

一、離散型隨機變量

離散型隨機變量揭示的是我們平時最常接觸的一類概率問題，即等可能性事件：某基本事件總數(shù)為n的件事中包含著m個基本事件，那么這一事件A的概率計算為：（一）隨機變量的概念

如果當一個隨機試驗的結(jié)果可以通過一個變量進行表示，則這個變量叫做隨機變量，一般使用希臘字母ξ、η等表示。

根據(jù)可能的取值可以將隨機變量分為兩類：

①離散型隨機變量：隨機變量的可能取值，可以按一定次序逐一列出。

②連續(xù)型隨機變量：隨機變量可以取某個區(qū)間內(nèi)的一切值。

（二）離散型隨機變量的分布列

一般，我們設離散型隨機變量ξ，其可能取值為1，2，…，n，…，其中ξ取每一個值（當i=1，2，…）的概率P（ξ=xi）=pi，此時有下表：

可以稱之為隨機變量ξ的概率分布，即隨機變量ξ的分布列。

二、離散型隨機變量的數(shù)學期望

三、數(shù)學期望與經(jīng)濟決策

（一）數(shù)學期望與生產(chǎn)批量決策

生產(chǎn)的批量是很多企業(yè)在生產(chǎn)決策時經(jīng)常遇到的一個重要問題。如何選擇生產(chǎn)方案、如何決定最終產(chǎn)量都與企業(yè)成本的控制， 收益的高低有著直接的關(guān)系。通過我們熟悉的數(shù)學期望，可以簡易的篩選收益最大的原則進行方案選擇：通過計算多個備選方案的收益的期望，進行比較，從而選擇收益最大（或損失最?。┑姆桨?。

如某企業(yè)A為了確定今后5 年內(nèi)各種日用品的生產(chǎn)批量，根據(jù)往常的銷售統(tǒng)計資料和市場調(diào)查，初步估算未來市場銷售前景好、中、差的概率分別為0.3，0.5和0.2。如果按照大、中、小三種不同的生產(chǎn)批量進行生產(chǎn)，在不同銷售狀態(tài)的益損值如下：

雖然上述例子當中的益損值 x 的分布未知，但是由于數(shù)學期望表示平均值，在三種不同的狀態(tài)下平均值可求，所以可用它作為評判的標準。下面通過計算得到三個不同批量益損值的數(shù)學期望分別為E（x1）=10.6，E（x2）=12.5，E（x3）=7.4。可以非常直觀的得到中批量生產(chǎn)的益損均值最大，所以選擇中批量生產(chǎn)最為合適。

（二）數(shù)學期望與最佳進貨量決策

同樣，現(xiàn)代商業(yè)講究的是充分的商品流通。商場進行某種商品的銷售時，通常要考慮貨源的儲備，如何既能滿足銷售需求，同時又不會造成積壓，從而在資金使用靈活、收益最優(yōu)。

假設該商場銷售某商品B，通過調(diào)查可知商品B每周的需求量 x 在 10 至 30 范圍內(nèi)等可能取值。正常銷售一件商品B可獲利500 元，若供大于求，發(fā)生產(chǎn)品積壓，則每件商品虧損 100 元；若供不應求，可臨時補貨，但每件商品只能獲利300 元。如果商品B每周進貨量范圍也在 10 至 30 件內(nèi)等可能取值。那么應當如何安排進貨，才能獲得最佳利潤？

如上述條件可知，由于商品B的銷售量x是一個在區(qū)間 [10，30]上均勻分布的隨機變量，而銷售利潤值 y 則是隨機變量 x 的函數(shù)。

設每周的進貨量為a，則有：

y=500a+300（x-a），x≥a，

y=500x-100（a-x），x≤a。

所以 y 的數(shù)學期望為：

Ey =-7.5a2+350a+5250

四、總結(jié)

通過觀察數(shù)學期望的特點不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學期望的計算，在很大程度上可以反應一個經(jīng)濟決策的利弊。比如果決策的目標是尋求效益最大，那么就可以采用期望值最大的方案；如果追求的目標是最小損失，則應考察期望值小的行動方案。數(shù)學期望值，代表了各種情況下的加權(quán)平均值。通過數(shù)學期望為計算基礎，結(jié)合概率統(tǒng)計計算分析和實際情況與解決方案的綜合考量，可以為經(jīng)濟決策提供良好的科學依據(jù)，同時能夠一定程度上規(guī)避風險，提高經(jīng)濟利潤。

作者簡介：

孟玥彤（1999-），女，漢族，河北辛集人，衡水一中學生。