別有風(fēng)趣的圓規(guī)幾何學(xué)

用直尺和圓規(guī)的一切作圖歸根到底都取決于：（1）求兩圓的交點(diǎn)；（2）求一條直線與一個(gè)圓的交點(diǎn)；（3）求兩直線的交點(diǎn).？搖 以上三條，（1）自然可用圓規(guī)完成，關(guān)鍵在于（2）、（3）.？搖

讀者可能不曾想到，那位南征北戰(zhàn)、威名赫赫的法國(guó)皇帝拿破侖竟是一位數(shù)學(xué)愛(ài)好者，其幾何學(xué)的造詣之深，在古今中外的帝王中堪稱(chēng)獨(dú)步！

據(jù)說(shuō)，拿破侖對(duì)于只用圓規(guī)的幾何作圖問(wèn)題極感興趣. 傳聞他曾給當(dāng)時(shí)的法國(guó)數(shù)學(xué)家出過(guò)一道題：僅用圓規(guī)不用直尺，請(qǐng)把已知的圓周四等分.

圖1

這道題如果給定圓的圓心，就不難算. 圖1表明了一種作法：

在已知圓O（r）上任取一點(diǎn)A，然后從A點(diǎn)出發(fā)，用圓規(guī)量半徑的方法，依次在圓周上作出B、C、D三點(diǎn)，再作圓A（AC）交圓D（DB）于E點(diǎn)，最后，作圓A（OE）交已知圓O（r）于P、Q兩點(diǎn)，則A、P、D、Q四點(diǎn)把圓O四等分.？搖

其實(shí)，讀者不難算出：AE=AC=r，OE===r.

從而，A、P、D、Q確實(shí)為圓O的四等分點(diǎn).

如果已知圓沒(méi)有給出圓心，那就難辦多了. 不過(guò)，只要你耐心讀完本篇文章就知道這也能辦到.？搖

1797年，意大利幾何學(xué)家馬施羅姆指出：任何一個(gè)能用直尺和圓規(guī)作出的幾何圖形都可以單獨(dú)用圓規(guī)作出. 這實(shí)際上是說(shuō)：“直尺是多余的！”的確，如果我們認(rèn)為所求的直線只要有兩點(diǎn)被確定就算得到了，那上面的說(shuō)法是對(duì)的！

學(xué)過(guò)平面幾何的讀者想必都了解，用直尺和圓規(guī)的一切作圖歸根到底都取決于：（1）求兩圓的交點(diǎn)；（2）求一條直線與一個(gè)圓的交點(diǎn)；（3）求兩直線的交點(diǎn).？搖

以上三條，（1）自然可用圓規(guī)完成，關(guān)鍵在于（2）、（3）.？搖為了弄清楚這一點(diǎn)，我們先介紹幾種可單獨(dú)用圓規(guī)作出的基礎(chǔ)作圖.

作圖1：試單獨(dú)使用圓規(guī)作點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′.？搖

作法：如圖2，以點(diǎn)A為圓心，AP長(zhǎng)為半徑作弧，然后以點(diǎn)B為圓心，BP長(zhǎng)為半徑作弧，則上述兩弧有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)為P，則另外一個(gè)便是我們所要求的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′.？搖

圖2

作圖2：在圓心O已知的情況下，試單獨(dú)使用圓規(guī)求圓O上的中點(diǎn).？搖

作法：如圖3，不難單獨(dú)使用圓規(guī)作出？荀ABOC及？荀ABDO.？搖令OA=r，AB=m，則在？荀ABOC中，因?yàn)镃B2+OA2=2（AB2+OB2），所以CB2+r2=2（m2+r2），CB2=2m2+r2.？搖

圖3

現(xiàn)作圓C（CB）交圓D（DA）于E點(diǎn)，因?yàn)镺E2=CE2-OC2=CB2-OC2，所以O(shè)E2=2m2+r2-m2=m2+r2.？搖

再作圓C（OE）交圓D（OE）于F點(diǎn)，因?yàn)镺F2=CF2-OC2=OE2-OC2，所以O(shè)F2=m2+r2-m2=r2.？搖

從而，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn).？搖又根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性知，F(xiàn)為的中點(diǎn).？搖

作圖3：試單獨(dú)使用圓規(guī)求線段a、b、c的第四比例項(xiàng)x.

作法：我們?cè)囎髌渲凶钇毡榈囊环N情況，其余均留給讀者.？搖

如圖4，取定一點(diǎn)O作圓O（a）、圓O（b），在圓O（a）上任取一點(diǎn)M，并求得另一點(diǎn)N，使弦MN=c.？搖任選一半徑r，作圓M（r）和N（r）分別交圓O（b）于P、Q兩點(diǎn)，并使OP與OQ中恰有一條位于∠MON內(nèi)部.？搖易知△OMN∽△OPQ，從而OM∶OP=MN∶PQ，即a∶b=c∶x，也就是說(shuō)弦PQ即為所求的第四比例項(xiàng)x.？搖

圖4

現(xiàn)在，讓我們回到單獨(dú)使用圓規(guī)的另兩個(gè)關(guān)鍵作圖上來(lái).？搖事實(shí)上，單用圓規(guī)求一直線與圓的交點(diǎn)，現(xiàn)在已經(jīng)沒(méi)有多大困難了.？搖

如圖5，用基礎(chǔ)作圖1作已知圓O（r）的圓心O關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O′，則圓O（r）與圓O′（r）的交點(diǎn)P、Q即為所求直線AB與已知圓O（r）的交點(diǎn).

圖5

不過(guò)，有一種情況似乎例外，即直線AB恰過(guò)O點(diǎn)，此時(shí)基礎(chǔ)作圖1失效.？搖然而，我們可以如圖6那樣再利用基礎(chǔ)作圖2求出的中點(diǎn)P和Q.？搖不難明白，P、Q即為圓O與直線AB的交點(diǎn)，也就是說(shuō)，我們已經(jīng)解決了關(guān)鍵的作圖（2）.？搖

圖6

再看看關(guān)鍵作圖（3），即如何單用圓規(guī)求兩直線的交點(diǎn).？搖實(shí)際上，我們可以把它歸結(jié)為基礎(chǔ)作圖3.

圖7

如圖7，我們先按基礎(chǔ)作圖1作C、D關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′、D′，然后再確定點(diǎn)E，使CC′D′E為平行四邊形，這是單獨(dú)用圓規(guī)所能夠做到的.？搖很明顯，D、D′、E三點(diǎn)共線.？搖

令CD與AB的交點(diǎn)為F，那么，我們現(xiàn)在的目的就是求出F點(diǎn).？搖

因?yàn)镈′F∥EC，所以DE∶DD′=DC∶DF，即DF=x為DE、DD′、DC的第四比例項(xiàng)，因而也能單獨(dú)用圓規(guī)作出.？搖接下來(lái)是求圓D（x）和圓D′（x）的交點(diǎn)F，這已經(jīng)是很容易的事了.？搖

至此，我們已經(jīng)令人信服地證明了馬施羅姆關(guān)于“直尺是多余的”結(jié)論！

最后，還要提到一段有趣的歷史. 1928年左右，丹麥數(shù)學(xué)家海姆斯列夫的一個(gè)學(xué)生在哥本哈根的一個(gè)舊書(shū)攤上偶然發(fā)現(xiàn)了一本舊書(shū)的復(fù)制品《歐幾里得作圖》.？搖該書(shū)出版于1672年，作者是一位名不經(jīng)傳的人物G·莫爾. 令人驚異的是，這本書(shū)不僅包含了馬施羅姆的結(jié)論，而且給出了一種不同的證明. 如果上述著作的年代沒(méi)有判定錯(cuò)誤的話，那么這一事實(shí)表明：圓規(guī)幾何學(xué)的歷史至少應(yīng)當(dāng)向前推移125年.

實(shí)戰(zhàn)演練

1. 請(qǐng)你只用圓規(guī)在圖8所示的圓中作出此圓的五等分點(diǎn)（保留作圖痕跡）.

圖8

2. 圖9給定了兩個(gè)點(diǎn)A、B，請(qǐng)你只用圓規(guī)作出點(diǎn)C，使得以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等邊三角形（保留作圖痕跡）.

圖9

3. 如圖10，已知正方形ABCD及其對(duì)角線BD，請(qǐng)你只用圓規(guī)作出正方形AEFG，使得正方形AEFG的面積為正方形ABCD面積的一半（只用作出E、F、G三點(diǎn)）.

圖10

4. 如圖11，已知圓及圓外一點(diǎn)A，請(qǐng)你只用圓規(guī)作出圓上的B、C兩點(diǎn)，使得A、B、C三點(diǎn)共線且AB=BC（只用作出B點(diǎn)）.

圖11