將三角形面積之比進(jìn)行到底

不要放過那些表面上看起來平凡而簡單的問題，它們背后也許有你還沒有弄明白的東西. 找到一種解題方法之后，不妨再想想：有沒有更高明的辦法呢？

不知道同學(xué)們在做題的時(shí)候有沒有發(fā)現(xiàn)，有些看來極為簡單、平常的題目，仔細(xì)想想，卻會(huì)有新的收獲. 例如一些涉及初中知識(shí)的題目，小學(xué)生卻能完整、正確地做出來，這是為什么呢？ 或許你現(xiàn)在有點(diǎn)丈二和尚摸不著頭腦，不要緊，讓我們先來看看下面的例子吧.

圖1畫了兩個(gè)三角形：△PAB和△QAB，我們一眼就可以看出△PAB的面積比△QAB的面積大.？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

若進(jìn)一步問：△PAB的面積是△QAB的多少倍呢？這就不是一眼就能看出來的了，它需要量一量.

這是不難的. 我們在小學(xué)的時(shí)候就學(xué)過：三角形的面積等于底乘高之積的一半. 先畫出△PAB的高PD和△QAB的高QE，量出PD=4 cm，AB=4 cm，QE=2 cm，于是，立即可以算出：△PAB的面積是8 cm2，△QAB的面積是4 cm2. 因此，△PAB的面積是△QAB的面積的2倍.

你馬上就會(huì)想到，上面這個(gè)方法是個(gè)笨方法，我們根本就不需要算出兩個(gè)三角形的面積. 因?yàn)椤鱌AB和△QAB有一條公共邊AB，這條公共邊可看作是它們的公共底. 有公共底的兩個(gè)三角形叫做同底三角形，而同底三角形的面積比等于它們的高之比，因此：

===2①

所以，△PAB的面積是△QAB的2倍.

只量高不量底就可以求出△PAB和△QAB的面積比. 這里利用了兩個(gè)三角形有公共底的特點(diǎn). 這比先分別算出兩個(gè)三角形的面積的辦法要高明些.

進(jìn)一步問，能不能精益求精，再高明一點(diǎn)呢？

答案是肯定的. 量高要用帶直角的三角板先畫高，還要量兩次. 那么，有沒有更簡單點(diǎn)的方法呢？

有！回頭看看圖1，這次我們設(shè)M是直線AB與PQ的交點(diǎn)，量出線段PM和QM的長度（量這兩條線段，既不用畫垂線又可以一次量出）. 量得PM=8 cm，QM=4 cm，同樣可算出：

===2②

這是什么道理呢？

學(xué)過相似三角形的我們很快會(huì)發(fā)現(xiàn)，原來△PDM∽△QEM，因而有

=③

這表明，知道了PM與QM的比，也就知道了PD與QE的比，從而也就知道了△PAB與△QAB的面積之比.

很好，我們找到了更高明的辦法，而且應(yīng)用相似三角形的知識(shí)說明了其中的道理，值得祝賀.

但是你不應(yīng)該就此滿足，你可以再問：能不能用更簡單明了的推理來說明等式

=？搖④

的來歷呢？

比如，一位小朋友還沒學(xué)過相似三角形的知識(shí)，但是對此卻很好奇，你能不能向他說明④成立的道理呢？

辦法仍是有的. 在直線AB上取一點(diǎn)N，讓MN=AB，如圖2. 于是

S△PAB=S△PMN S△QAB=S△QMN

因而==？搖⑤

這里，用到了“同高三角形的面積之比等于底之比”. 因?yàn)?，把PM看成△PMN的底，把QM看成△QMN的底，△PMN和△QMN便成了同高三角形（它們的公共高在圖中沒有畫出來）.

為了說明等式④成立，我們在直線AB上取了一個(gè)點(diǎn)N，又連結(jié)了線段PN、QN. 如果不想添加這些輔助點(diǎn)和輔助線，則可以利用現(xiàn)成的同高三角形來過渡：

=··⑥

=··=

這同樣推出了等式④，但是卻沒有用輔助線和輔助點(diǎn).

現(xiàn)在，讓我們一起來回顧一下思考的過程，從中獲得一些有益的啟示：

一、？搖不要放過那些表面上看起來平凡而簡單的問題，它們背后也許有你還沒有弄明白的東西.

二、？搖找到一種解題方法之后，不妨再想想：有沒有更高明的辦法呢？

三、？搖更高明的辦法也許要用到更多的知識(shí)來說明其中的奧妙，那么，不妨進(jìn)一步想，能不能用更少的、更基本的知識(shí)來說明那些你本認(rèn)為要用較多的知識(shí)才能說明的道理呢？

問題到此并沒有結(jié)束，還可以“舉一反三”. 圖1畫出的兩個(gè)三角形 △PAB和△QAB，其特點(diǎn)是有一條公共邊AB，但是，有公共邊的兩個(gè)三角形，它們的位置關(guān)系并不一定都像圖1那樣，它們的位置關(guān)系是多種多樣的.

那么，是不是在任何情形之下，等式④都成立呢？

這樣看問題和提問題，我們便有了一般的概念，然后可以提出更一般的問題，找出更一般的規(guī)律，就像我們上面的做法一樣，從圖1的兩個(gè)特殊三角形△PAB和△QAB出發(fā)，提出了“有公共邊的兩個(gè)三角形”的一般概念，然后提出更一般的問題，找更一般的規(guī)律.

實(shí)戰(zhàn)演練

1. 如圖3，D是BC上一點(diǎn)，且BD=2，BC=5，E是AD的中點(diǎn)，則S△ABD ∶ S△ACE=______________.

2 在文章一開始所提的問題中，如果P、Q兩點(diǎn)在直線AB兩側(cè)，則△PAB和△QAB之比可化為哪兩條線段之比？（看圖4回答）

3. 如圖5，已知AP ∶ PC=4 ∶ 3，AQ ∶ QB=

3 ∶ 2，求△AOB與△AOC之比.

4. 如圖6，設(shè)三角形ABC中，邊BC上一點(diǎn)D滿足BC ∶ CD=4，邊CA上一點(diǎn)E滿足CA ∶ AE=5，邊AB上一點(diǎn)F滿足AB ∶ BF=6，那么三角形DEF的面積與三角形ABC的面積之比為多少？

5. 梯形ABCD中，AB平行于CD，AC、BD交于E，若三角形DCE的面積 ∶ 三角形DCB的面積=1 ∶ 3，求三角形DCE與三角形ABD的面積之比.