由“將軍飲馬”說起

相傳，海倫是古希臘亞歷山大城精通數(shù)學(xué)、物理的學(xué)者. 一天，一位將軍向他請(qǐng)教一個(gè)問題：如圖1所示，將軍準(zhǔn)備從A點(diǎn)出發(fā)，想讓馬到一條筆直的河流上去飲水，然后再去B地，那么，怎樣走路線最短呢？海倫稍加思索，建立以下數(shù)學(xué)模型，便解決了這個(gè)問題，請(qǐng)看：

他把河岸看作直線l. 如圖2所示，先取A（或B）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′（或B′），連結(jié)A′B（或B′A），與直線交于一點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是將軍飲馬的地點(diǎn)，且PA+PB即為最短路線.

說明 設(shè)點(diǎn)P1是河岸l上異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，連結(jié)P1A，P1A′，P1B. 因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于l對(duì)稱，所以PA=PA′，P1A=P1A′. 所以PA+PB=PA′+PB=A′B， P1A+P1B=P1A′+P1B. 在△A′P1B中，P1A′+P1B>A′B，所以P1A+P1B>PA+PB. 所以點(diǎn)P到A，B的距離之和最短.

這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬”問題. 需要指出的是，它是一個(gè)十分重要的“最值模型”，如人教版課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材《數(shù)學(xué)》八年級(jí)（上）“13.2軸對(duì)稱變換”，在“探究”欄目中設(shè)置的“選址修建泵站”的問題，即“要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵方，使所用的輸氣管線最短”，其數(shù)學(xué)模型就是“將軍飲馬”問題. 這個(gè)模型在初中的解題中經(jīng)常用到，同學(xué)們一定要掌握其使用方法.