巧補(bǔ)形，妙解題

同學(xué)們平時(shí)解題時(shí)，經(jīng)常跳不出條條框框的束縛，不是圍著書本和教師轉(zhuǎn)，就是陷入題海之中，得不到主動(dòng)發(fā)展.本文以2009年武漢市中考數(shù)學(xué)試卷第24題第2問為例，談如何多方位、多角度、多層次地思考問題.

如圖1所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O是AC邊上一點(diǎn)，連結(jié)BO交AD于點(diǎn)F，OE⊥OB交BC邊于點(diǎn)E.

（1）求證：△ABF∽△COE.

（2）當(dāng)點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，=2時(shí)，求的值.

（3）當(dāng)點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，=n時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值.

解析 （1）證明略.

第（2）問除了參考答案給出的兩種方法外，能否找到更實(shí)用且相對(duì)簡便的方法呢？筆者認(rèn)為只要充分利用已有信息，聯(lián)想熟悉的基本圖形，不難得出以下解法.

（2）因?yàn)锳C=2AB，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，所以AB=AO=OC. 由（1）有△ABF∽△COE，所以△ABF≌△COE. 所以BF=OE. 又∠BAC=90°，AD⊥BC，由射影定理得AB2=BD·BC，AC2=CD·BC，所以CD ∶ BD=AC2 ∶ AB2=4 ∶ 1.

方法1 過點(diǎn)O作OH⊥BC，垂足為點(diǎn)H（圖略），因?yàn)锳D⊥BC， 所以AD∥OH. 所以O(shè)F ∶ BF=HD ∶ BD. 因?yàn)辄c(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，AD∥OH，所以點(diǎn)H是CD的中點(diǎn). 所以DH ∶ BD=2 ∶ 1. 所以O(shè)F ∶ OE=OF ∶ BF=2 ∶ 1.

方法2 過點(diǎn)O作OH⊥AD，垂足為點(diǎn)H（圖略），則OF ∶ OE=OF ∶ BF=OH ∶ BD.

易證CD=2OH，所以O(shè)H ∶ BD=2 ∶ 1. 所以O(shè)F ∶ OE=2 ∶ 1.

方法3 過點(diǎn)B作BM∥AC交AD的延長線于點(diǎn)M（圖略）. 由△AOF∽△MBF得OF ∶ BF=AO ∶ BM；由△ACD∽△MBD得AC ∶ BM=CD ∶ BD=4 ∶ 1. 因?yàn)锳C=2AO，所以O(shè)F ∶ BF=AO ∶ BM=2 ∶ 1.

方法4 過點(diǎn)C作CG⊥BC，交BO的延長線于點(diǎn)G（圖略），則AD∥CG. 所以GF ∶ BF=CD ∶ BD=4 ∶ 1. 易證GF=2OF，所以O(shè)F ∶ BF=2 ∶ 1. 所以O(shè)F ∶ OE=2 ∶ 1.

方法5 過點(diǎn)O作OP∥AD，交BA的延長線于點(diǎn)P（圖略），則OF ∶ BF=PA ∶ AB. 易證△OAP≌△BAC. 所以AP=AC. 因?yàn)锳C ∶ AB=2 ∶ 1，所以O(shè)F ∶ OE=OF ∶ BF=PA ∶ AB=2 ∶ 1.

點(diǎn)評(píng) 以上五種解法通過添加輔助線，補(bǔ)全出“雙垂直相似”和“平行線型的相似”這兩個(gè)基本圖形，把AC ∶ AB=2 ∶ 1轉(zhuǎn)化為CD ∶ BD=4 ∶ 1，用BF代換OE，然后把OF ∶ BF放到平行線型的相似三角形中，使問題得到解決.

方法6 如圖2所示，連結(jié)EF，取EF的中點(diǎn)I. 因?yàn)椤螮OF=∠EDF=90°，所以D，E，O，F(xiàn)四點(diǎn)到點(diǎn)I的距離相等. 所以D，E，O，F(xiàn)四點(diǎn)在以點(diǎn)I為圓心，IE為半徑的圓上. 所以∠EFO=∠EDO. 又因?yàn)椤螦DC=90°，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，所以DO=CO. 所以∠EDO=∠C. 所以∠EFO=∠C. 因?yàn)椤螮OF=∠BAC=90°，所以△EOF∽△BAC. 所以O(shè)F ∶ OE=AC ∶ AB=2 ∶ 1.

點(diǎn)評(píng) 連結(jié)EF，補(bǔ)全有公共直角邊的兩個(gè)直角三角形，發(fā)現(xiàn)四個(gè)頂點(diǎn)到斜邊中點(diǎn)的距離相等，根據(jù)“圓的定義”得D，E，O，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，再由“同弧所對(duì)的圓周角相等”得出∠EFO=∠EDO；連結(jié)DO，又補(bǔ)全成“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一基本圖形，所以DO=CO，∠EDO=∠C，從而可直接證到結(jié)論. 該解法別具匠心，相當(dāng)精妙，而且解決第（3）問特別方便.

以上幾種解法，通過補(bǔ)全相似形，將題設(shè)的條件及數(shù)量關(guān)系在圖形中得到實(shí)現(xiàn)，充分揭示了圖形的內(nèi)涵，解答過程極具想象力和創(chuàng)造力，尤其方法6，構(gòu)造輔助圓，解法簡捷且具有一般性. 其實(shí)只要同學(xué)們平時(shí)注意多觀察、多思考、多探索、多積累，數(shù)學(xué)解題一定會(huì)變得生機(jī)盎然，充滿樂趣.