思路點(diǎn)撥之圖形的旋轉(zhuǎn)

知識重在理解與應(yīng)用，如何才能更好地利用知識幫助我們解題？其實(shí)最終都可以歸結(jié)為如何正確思考. 下面便以圖形旋轉(zhuǎn)中難度較高的試題為原型，為大家一一講述如何思考.

實(shí)踐操作綜合型

例題1 ？藎 閱讀下列材料.

小明遇到一個問題：如圖1所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD和DA邊上靠近A，B，C，D的n等分點(diǎn)，連結(jié)AF，BG，CH，DE，形成四邊形MNPQ. 求四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比（用含n的代數(shù)式表示）.

小明的做法是：

先取n=2，如圖2所示，將△ABN繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°至△CBN′，再將△ADM繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△CDM′，得到5個小正方形，所以四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是；

然后取n=3，如圖3所示，將△ABN繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°至△CBN′，再將△ADM繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△CDM′，得到10個小正方形，所以四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是，即；

……

請你參考小明的做法，解決下列問題.

（1）在圖4中探究n=4時四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比（在圖4上畫圖并直接寫出結(jié)果）.

（2）圖5是矩形紙片剪去一個小矩形后的示意圖，請你將它剪成三塊后再拼成正方形（在圖5中畫出并指明拼接后的正方形）.

思路分析 對于（1），結(jié)合小明的操作方法以及圖形可知，

當(dāng)n=2時， 四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是（2-1）2 ∶ （22+1）；

當(dāng)n=3時， 四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是（3-1）2 ∶ （32+1）；

因此當(dāng)n=4時， 可通過類比圖2、圖3的操作得到圖形.

于是可得到四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是（4-1）2 ∶ （42+1）.

對于（2），因?yàn)橛桑?）中的圖2、圖3可知，所得結(jié)果是將原正方形中的兩個三角形作適當(dāng)旋轉(zhuǎn)得到一個“刀把”圖形，因此要將圖5中的“刀把”示意圖剪成三塊后再拼成正方形，只需要對比圖3便可得到分割方法.

詳細(xì)解答 （1）類比圖2、圖3的操作可得到下列圖6.

所以四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是.

（2）拼接后的正方形是正方形ABCD，如圖7所示.

突破策略 與實(shí)際操作有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，其難點(diǎn)不僅僅在于數(shù)學(xué)知識的綜合性強(qiáng)，還在于情景復(fù)雜，有時題干較長，題意不易讀懂.

解決此類問題的突破口是首先讀懂題意，其次追憶相關(guān)的已知“數(shù)學(xué)模型”，如本題就需要結(jié)合圖3.

閱讀理解型

例題2 ？藎 在平面內(nèi)，先將一個多邊形以點(diǎn)O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為k，并且原多邊形上的任一點(diǎn)P，它的對應(yīng)點(diǎn)P′在線段OP或其延長線上；接著將所得多邊形以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度θ，這種經(jīng)過旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為O（k，θ），其中點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋轉(zhuǎn)角.

（1）填空：①如圖8所示，將△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來的2倍，再逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，這個旋轉(zhuǎn)相似變換記為A（_______，_______）.

②如圖9所示，△ABC是邊長為1 cm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換A（，90°），得到△ADE，則線段BD的長為_______cm.

（2）如圖10所示，分別以銳角三角形ABC的三邊AB，BC，CA為邊向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，點(diǎn)O，O，O分別是這三個正方形的對角線交點(diǎn)，試分別利用△AOO與△ABI，△CIB與△CAO之間的關(guān)系，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)相似變換的知識說明線段OO與AO之間的關(guān)系.

思路分析 根據(jù)規(guī)定易得（1）的答案.

對于（2），可先結(jié)合（1）確定變換后點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后判斷線段OO與AO之間的關(guān)系.

詳細(xì)解答 （1）①2，60°. ②2.

（2）觀察可知△AOO經(jīng)變換A（，45°）得到△ABI，線段OO變?yōu)榫€段BI；

△CIB經(jīng)變換C，45°得到△CAO，線段BI變?yōu)榫€段AO . 因?yàn)椤?1，45°+45°=90°，所以O(shè)O=AO，OO⊥AO .

突破策略 本題借助數(shù)學(xué)中的基本圖形：三角形、四邊形，以及基本變換的概念定義新變換，其中包含相似變換和旋轉(zhuǎn)變換.

解此類題的難點(diǎn)是理解新變換的定義，解決辦法重在克服心理障礙、讀懂變換規(guī)定，同時在分析時抓住變換前后的對應(yīng)元素.

分類討論型

例題3 ？藎 如圖11所示，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），將線段OP按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長度伸長為OP的2倍，得到線段OP；

又將線段OP按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為OP的2倍，得到線段OP；如此下去，得到線段OP，OP，…，OP（n為正整數(shù)）.

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（2）求△POP的面積.

（3）我們規(guī)定：把點(diǎn)P（x，y）（n=0，1，2，3，…）的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y都取絕對值后得到的新坐標(biāo)（x？搖，y）稱之為點(diǎn)P的“絕對坐標(biāo)”. 根據(jù)圖中點(diǎn)P的分布規(guī)律，請你猜想點(diǎn)P的“絕對坐標(biāo)”，并寫出來.

思路分析 對于（1），依次計算P，P，P，P，P，P即可.

對于（2），可先計算三角形PPO的面積，然后利用“相似三角形的面積比等于相似比的平方”計算△POP的面積.

對于（3），由題意知OP旋轉(zhuǎn)8次之后回到x軸正半軸，在這8次中，點(diǎn)P分別落在坐標(biāo)象限的平分線上或x軸上或y軸上，但各點(diǎn)絕對坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù)，因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)可分三類情況.

詳細(xì)解答 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)規(guī)律，點(diǎn)P落在y軸的負(fù)半軸，而點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離始終等于前一個點(diǎn)到原點(diǎn)距離的2倍，故所求的P的坐標(biāo)為（0，-26）.

（2）由已知可得△POP∽△POP∽…∽△POP .

設(shè)P（x，y），

則y=2sin45°=.

所以S=×1×

=.

又因?yàn)?32，

所以=2=1024.

所以S=1024×=512.

（3）令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為n.

①當(dāng)n=8k或n=8k+4時（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)P落在x軸上，此時點(diǎn)P的絕對坐標(biāo)為（2n，0）.

②當(dāng)n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)P落在各象限的平分線上，此時點(diǎn)P的絕對坐標(biāo)為·2n，·2n，即（2n-1，2n-1）.

③當(dāng)n=8k+2或n=8k+6時（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)P落在y軸上，此時點(diǎn)P的絕對坐標(biāo)為（0，2n）.

突破策略 本題是一道綜合性問題，涉及的知識點(diǎn)除了平面直角坐標(biāo)系、三角形的面積以及相似三角形等相關(guān)知識外，還有旋轉(zhuǎn)；涉及的數(shù)學(xué)思想方法主要為分類討論思想以及歸納概括思想.

解題時不僅要準(zhǔn)確理解旋轉(zhuǎn)過程中的“動線”和“動點(diǎn)”，更重要的是能利用分類思想討論清楚點(diǎn)P的位置.