差分:開啟等差數(shù)列寶藏的金鑰匙

楊彬

我們知道，導(dǎo)數(shù)是刻畫連續(xù)性函數(shù)性質(zhì)的有力工具，反映的是瞬時(shí)變化率；而數(shù)列是一個(gè)離散的函數(shù)模型，反映的是平均變化率。差分思想是探究數(shù)列性質(zhì)的有力工具，在探索數(shù)列的性質(zhì)比如單調(diào)性時(shí)起著舉足輕重的作用。應(yīng)用差分思想解題的常見案例之一，就是已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系式，以n-1代換n得關(guān)于Sn-1的關(guān)系式，兩式相減，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式 an= S1,n=1,Sn-Sn-1,n＞1，再根據(jù)通項(xiàng)公式進(jìn)一步研究數(shù)列{an}的性質(zhì)。在高三數(shù)學(xué)有關(guān)數(shù)列性質(zhì)的教學(xué)中，有必要重視差分思想。本文結(jié)合一道高考題，體會(huì)差分思想在成功解決數(shù)列問題中的意義。

高考結(jié)束，筆者正試做2011年的江蘇高考數(shù)學(xué)試卷，恰好任教班級(jí)的幾位學(xué)生相約而來，向我暢談考試的感受?！霸嚲恝竦?0題之前的試題比較常規(guī)，高考前的?？贾杏蓄愃祁}型，要說有難度的就是解答題部分的那道數(shù)列題。”這是他們對(duì)于試卷Ⅰ的評(píng)價(jià)。于是，我們共同探討第20題。

例1：設(shè)M為部分整數(shù)組成的集合，數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的整數(shù)k∈M，當(dāng)整數(shù)n＞k時(shí)，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）都成立。（1）設(shè)M={1}，a2=2，求a5的值；（2）設(shè)M={3,4}，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。探討活動(dòng)的細(xì)節(jié)筆錄如下。

考生1說，這道數(shù)列題的第一小問并不難，為第二小問的探究活動(dòng)起著鋪墊作用。由題知，當(dāng)n＞k=1時(shí)，Sn+1+Sn-1=2（Sn+S1），根據(jù)an= S1,n=1,Sn-Sn-1,n＞1，通過數(shù)列的通項(xiàng)公式展開移項(xiàng)，得Sn+1-Sn=

Sn-Sn-1+2，即an+1-an=2（n＞1），所以在數(shù)列{an}中，a2,a3,a4…是一個(gè)首項(xiàng)與公差都等于2的等差數(shù)列，可得an=2+（n-2）×2=2n-2（n＞1），所以a5=8。（考生1喜悅之情溢于言表）?！斑@是典型的運(yùn)用差分思想解決數(shù)列問題案例，屬于常規(guī)思路?！蔽覟樗麄兏吲d。

“試題的真正難度在第2小問?！笨忌?插嘴道，“當(dāng)k∈M={3,4}且n＞k時(shí)，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk），根據(jù)差分思想解答數(shù)列問題的思路，可得Sn+1+k+Sn+1-k=2（Sn+1+Sk），兩式相減得an+1+k+an+1-k=2an+1，它是等差數(shù)列的必要條件。”考生2繼續(xù)說：“移項(xiàng)得an+1+k-an+1=an+1-an+1-k，即an+4-an+1=an+1-an-2（k=3,n＞3）①，an+5-an+1=an+1-an-3（k=4,n＞4）②，繼續(xù)深入處理這兩個(gè)關(guān)系式中所涵蓋的信息，論證數(shù)列的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵，我也沒能繼續(xù)做下去?！?/p>

那么，①、②兩式形式不同，能得什么結(jié)論呢？一時(shí)陷入沉思之中：數(shù)列{an}已經(jīng)呈現(xiàn)等差數(shù)列的特征，如果屬于等差數(shù)列，必須論證2an=an+1+an-1（n＞），即確保數(shù)列{an}（n＞1）任意連續(xù)三項(xiàng)之間滿足等差中項(xiàng)關(guān)系，然后結(jié)合a1=1求出公差的大小。

繼續(xù)審視①、②兩式，尋找兩式的共同點(diǎn)。在筆者引領(lǐng)下，他們仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)式子中n的取值范圍有差異。考生3注意到在①式中，至少有a2，a5，a8，a11，a14，…成等差數(shù)列，還有a3，a，a9，…a4，a7，a10，…分別也成等差數(shù)列，下標(biāo)均是以3為公差的等差數(shù)列中的數(shù)。（考生4補(bǔ)充道：這幾個(gè)等差數(shù)列中沒有a1的影子。）這些都是等差數(shù)列的必要條件，不足以得出數(shù)列{an}是等差數(shù)列結(jié)論。

有規(guī)律可循嗎？可否整合為一體？通過抽象概括，逐步抽象出該數(shù)列如下性質(zhì)：an，an+3，an+6，an+9，…（n≥2），即an-6，an，an+3，an+6，…（n≥8）為等差數(shù)列；類似的，在②式中，至少有a2，a6，a10，a14， …成等差數(shù)列，下標(biāo)是以4為公差的等差數(shù)列，類似的，抽象出an，an+4，an+8，an+12，…（n≥2），即an-6，an-2，an+2，an+6， …（n≥8）成等差數(shù)列。

綜上所述，當(dāng)（n≥8）時(shí)，進(jìn)一步分別可得2an=an+3+an-3=an+6+an-6③，且an+6+an-6=an+2+an-2④。故當(dāng)(n≥8)時(shí)，2an=an+2+an-2⑤，這與要推導(dǎo)的2an=an+1+an-1（n＞1）還有一些距離。

“好！”由于受能力與時(shí)間限制，雖然他們?cè)诳紙?chǎng)上沒有給出更多的思考過程，但我也為考生3的“馬后炮”大聲叫好。我們繼續(xù)依照差分思想探究下去。在⑤式中，以n-1代換n，可得當(dāng)n≥9時(shí)，an-3，an-1，an+1，an+3成等差數(shù)列；聯(lián)立③、④、⑤式，我們得到了2an=an+1+an-1（n≥9）。“注意到n≥9，這表明數(shù)列{an}中的項(xiàng)a8，a9，a10，…構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差等于d?？蓜e高興過早，畢竟n≥9?！笨忌?及時(shí)提醒道。那么，數(shù)列{an}的前7項(xiàng)之間關(guān)系如何呢？我們又陷入了思索中。不過，我們憑直覺猜想到數(shù)列{an}應(yīng)該至少?gòu)捻?xiàng)a2開始構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列。

回過頭，再看先后得到的幾個(gè)有意義的結(jié)論。根據(jù)③式，可知當(dāng)n≥8時(shí)，2an=an-6+an+6⑥，其中an，an+6定是等差數(shù)列a8，a9，a10，…中的項(xiàng)。當(dāng)n≥14時(shí)，連同an-6也是等差數(shù)列a8，a9，a10，…中的項(xiàng)。

沒有比差分更有效的工具了。在③式中，再以n+1代換n，當(dāng)n≥7時(shí)，2an+1=an-5+an+7⑦。⑥、⑦兩式相減，當(dāng)8≤n≤14（只要8≤n≤14就足夠了）時(shí)，得2（an+1-an）=an-5-an-6+（an+7-an+6），移項(xiàng)得an-5-an-6=2d-d=d，具體地說就是a3-a2=a4-a3=…=a8-a7=d，所以在數(shù)列{an}中，a2，a3，a4，…是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列?？?，我們又成功地邁出了一大步。那么如何求公差d呢？計(jì)算可得d=2，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.（過程略）

反思與評(píng)價(jià)：其一，差分思想在判斷數(shù)列是否為等差或等比數(shù)列的過程中起著關(guān)鍵作用；其二，運(yùn)用差分思想時(shí)，注意n的取值范圍的變化；其三，解答有關(guān)數(shù)列問題的過程中，注意運(yùn)用差分的思想方法，提高推理論證能力；其四，差分思想在解決等差數(shù)列問題中比較重要，要切實(shí)抓住等差數(shù)列的本質(zhì)。不過，由于難度太大，時(shí)間緊，多數(shù)考生望而卻步。從高考選拔的角度看，其區(qū)分度不明顯。

（邳州市炮車中學(xué)）