深刻理解課程內(nèi)容 優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)過程

王林 侯正海

新世紀(jì)以來的課程改革，更加重視在數(shù)學(xué)教育中培養(yǎng)人，數(shù)學(xué)教育更加關(guān)注促進(jìn)學(xué)生的終身發(fā)展，以激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)為特征，強(qiáng)調(diào)將數(shù)學(xué)教育納入培養(yǎng)人的范疇，提倡面向全體學(xué)生，使每個(gè)學(xué)生都受到良好的數(shù)學(xué)教育。在教育教學(xué)觀念深入人心、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)明顯改善、教師專業(yè)成長(zhǎng)快速提升、學(xué)生學(xué)習(xí)方式豐富多樣的背景下，根據(jù)近幾年數(shù)學(xué)課程改革的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)施過程中出現(xiàn)的問題，修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》(以下簡(jiǎn)稱“數(shù)學(xué)新課標(biāo)”)結(jié)構(gòu)更加合理，表述更加準(zhǔn)確、規(guī)范、明了、全面，可操作性增強(qiáng)，易于理解，便于實(shí)施。更重要的是，數(shù)學(xué)新課標(biāo)既有傳承，也有改進(jìn)和發(fā)展，更加凸顯數(shù)學(xué)對(duì)于學(xué)生發(fā)展的獨(dú)特價(jià)值，堅(jiān)持體現(xiàn)國(guó)家利益，堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)課程改革的大方向，突出培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，完善了數(shù)學(xué)課程改革的基本理念、課程目標(biāo)，明確地提出“四基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）、“四能”（發(fā)現(xiàn)問題的能力、提出問題的能力，以及分析問題和解決問題的能力），較為詳盡地闡述了數(shù)學(xué)課程有關(guān)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心詞，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課標(biāo)提出而尚未顯性化的有關(guān)理念顯性化，使十年數(shù)學(xué)課程改革的成功經(jīng)驗(yàn)得到進(jìn)一步提煉和升華。

數(shù)學(xué)新課標(biāo)提出的“人人獲得良好的數(shù)學(xué)教育”，既是所有學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面的目標(biāo)，也是對(duì)我們數(shù)學(xué)教育工作者提出的新要求、高要求，要求我們必須為兒童的學(xué)習(xí)和發(fā)展提供最基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)準(zhǔn)備和發(fā)展方向，促進(jìn)不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)公平的、均衡的、全面的、持續(xù)的、和諧的教育。在新的背景下，我們進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要關(guān)注以下兩個(gè)重要問題。

一、進(jìn)一步深化對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的理解

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容是作為科學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容在數(shù)學(xué)學(xué)科課程中的具體體現(xiàn)。數(shù)學(xué)科學(xué)內(nèi)容是千百年來人類智慧的結(jié)晶，雖一直處于動(dòng)態(tài)發(fā)展與建構(gòu)的過程之中，但已經(jīng)形成了從理論到應(yīng)用、由具有眾多分支構(gòu)成的內(nèi)容宏富的體系。小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容是數(shù)學(xué)科學(xué)中對(duì)人的生活和學(xué)習(xí)最具基礎(chǔ)性，也是最容易理解的那一部分。我們進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅要理解教哪些內(nèi)容，教到什么程度，還更要理解為什么要教這些內(nèi)容，要對(duì)所教的內(nèi)容從數(shù)學(xué)角度吃透，清楚其數(shù)學(xué)意義，真正理解其教育的價(jià)值，并在此基礎(chǔ)上研究教學(xué)這些內(nèi)容如何體現(xiàn)核心概念，如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想。

1．?dāng)?shù)學(xué)課程的內(nèi)涵及價(jià)值

數(shù)學(xué)教學(xué)就是在作為科學(xué)的數(shù)學(xué)與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)之間建造一座橋梁，使數(shù)學(xué)科學(xué)以學(xué)生能夠接受和理解的方式呈現(xiàn)出來。由于教師對(duì)作為科學(xué)的數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)客觀上對(duì)作為教育的數(shù)學(xué)存在著實(shí)質(zhì)性的影響，因而有必要宏觀地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)科學(xué)的內(nèi)涵和價(jià)值。對(duì)此，數(shù)學(xué)新課標(biāo)進(jìn)行了描述：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”，“數(shù)學(xué)更加廣泛應(yīng)用于社會(huì)生產(chǎn)和日常生活的各個(gè)方面”，“數(shù)學(xué)作為對(duì)于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學(xué)語言與工具，不僅是自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的基礎(chǔ)，而且在人文科學(xué)與社會(huì)科學(xué)中發(fā)揮著越來越大的作用”。數(shù)學(xué)還“直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值，推動(dòng)著社會(huì)生產(chǎn)力的發(fā)展”。作為人類思維的表達(dá)形式，數(shù)學(xué)反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)倪壿嬐评砑皩?duì)完美境界的追求。

作為課程內(nèi)容的數(shù)學(xué)，是將數(shù)學(xué)科學(xué)賦予“課程”的內(nèi)涵。杜威等人把課程定義為學(xué)生在教師指導(dǎo)下所獲得的經(jīng)驗(yàn)。這樣的課程理念消除了傳統(tǒng)課程中“見物不見人”的傾向，從一味關(guān)注學(xué)科內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)注學(xué)生現(xiàn)實(shí)的、活生生的經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)。課程內(nèi)容不再是控制學(xué)生發(fā)展的工具，而是有機(jī)整合于學(xué)生的現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)之中，成為促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的動(dòng)力源泉。數(shù)學(xué)課程必須建立在學(xué)生原有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容應(yīng)該“基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，為了學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)”。沒有“經(jīng)驗(yàn)”這一前提，沒有“數(shù)學(xué)活動(dòng)”的內(nèi)涵，數(shù)學(xué)課程就失去了其價(jià)值追求。從這個(gè)角度，我們或許能夠更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)課程強(qiáng)調(diào)“積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”這一目標(biāo)的意義。

數(shù)學(xué)自身的發(fā)展、社會(huì)的現(xiàn)實(shí)需要和學(xué)生普遍的認(rèn)知規(guī)律這三個(gè)維度，決定了數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的面貌，并使其一直處于與時(shí)俱進(jìn)的動(dòng)態(tài)發(fā)展過程之中?；跀?shù)學(xué)課程內(nèi)容如何突出社會(huì)主義核心價(jià)值觀，如何繼承和弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)文化，如何更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)等重要的價(jià)值考量，數(shù)學(xué)新課標(biāo)對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行了充實(shí)、調(diào)整和完善。例如，增加了“知道用算盤可以表示多位數(shù)”，體現(xiàn)出中國(guó)傳統(tǒng)文化在數(shù)學(xué)學(xué)科中的傳承；又如，將實(shí)驗(yàn)課標(biāo)中的“統(tǒng)計(jì)觀念”調(diào)整為“數(shù)據(jù)分析觀念”，強(qiáng)調(diào) “會(huì)根據(jù)實(shí)際問題設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的調(diào)查表，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ缯{(diào)查、試驗(yàn)、測(cè)量）收集數(shù)據(jù)”，同時(shí)降低了對(duì)可能性的教學(xué)要求。這樣，學(xué)生原來主要是依靠概率來體會(huì)隨機(jī)思想，現(xiàn)在就要通過數(shù)據(jù)來體會(huì)隨機(jī)思想。強(qiáng)調(diào)發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，初步培養(yǎng)學(xué)生通過數(shù)據(jù)來分析和解決問題的習(xí)慣，在活動(dòng)中逐步提高對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的把握能力，意在更加凸顯數(shù)據(jù)在統(tǒng)計(jì)與概率活動(dòng)中的基礎(chǔ)地位、核心地位，以及數(shù)據(jù)處理過程所蘊(yùn)涵的一般數(shù)學(xué)思想。

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。曾經(jīng)，我們過于關(guān)注數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的教學(xué)，將數(shù)學(xué)課程內(nèi)容不恰當(dāng)?shù)卣癁閿?shù)學(xué)的結(jié)果，導(dǎo)致數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程及其所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法成為認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的盲區(qū)。在數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)上我們也許只看到數(shù)學(xué)結(jié)果及其內(nèi)在聯(lián)系，但從動(dòng)態(tài)的角度看，每一數(shù)學(xué)結(jié)果都有一個(gè)生動(dòng)活潑的形成過程，并且在這一結(jié)果的形成過程中常常蘊(yùn)涵著上位的數(shù)學(xué)思想方法。如此，我們才可能在數(shù)學(xué)教學(xué)中以數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程為載體，充分展開數(shù)學(xué)教學(xué)過程，實(shí)現(xiàn)過程與方法、情感與態(tài)度的課程目標(biāo)。例如，數(shù)學(xué)新課標(biāo)重視估算能力的培養(yǎng)，第一學(xué)段要求“能結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡(jiǎn)單估算，體會(huì)估算在生活中的作用”，第二學(xué)段要求“在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進(jìn)行估算”?！敖Y(jié)合具體情境”強(qiáng)調(diào)了估算的實(shí)際問題背景，“選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡(jiǎn)單估算”強(qiáng)調(diào)了估算的核心策略，這兩點(diǎn)都啟發(fā)我們從結(jié)果形成過程的角度理解估算，即估算是基于解決實(shí)際問題的需要而產(chǎn)生的，從而逐步培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)和能力?！斑x擇合適的方法進(jìn)行估算”則不僅強(qiáng)調(diào)估算方法的運(yùn)用，還強(qiáng)調(diào)方法選擇的過程以及其中所蘊(yùn)涵的近似思想、逐漸逼近的極限思想。

2．?dāng)?shù)學(xué)課程內(nèi)容的選擇與組織

從學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的角度考慮，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的選擇要“貼近學(xué)生的實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索”。貼近學(xué)生實(shí)際的課程內(nèi)容，主要是要符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的實(shí)際和學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的實(shí)際，有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，能為抽象的數(shù)學(xué)結(jié)果找到一個(gè)熟悉的生活原型，便于學(xué)生調(diào)用已有的生活經(jīng)驗(yàn)理解抽象的數(shù)學(xué)結(jié)果。貼近學(xué)生實(shí)際的課程內(nèi)容還要求我們能夠基于班級(jí)學(xué)生的實(shí)際，對(duì)教材中的內(nèi)容適度分解、整合、充實(shí)或更新。有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解的課程內(nèi)容需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)活動(dòng)的情境，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐等方式親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程，讓新的數(shù)學(xué)結(jié)果和已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。有利于學(xué)生思考與探索的課程內(nèi)容需要關(guān)注課程內(nèi)容的思維含量，內(nèi)容的思維水平應(yīng)落在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)體現(xiàn)“層次性和多樣性”，便于學(xué)生展開數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)富有挑戰(zhàn)的探索性學(xué)習(xí)。

課程內(nèi)容的組織決定著理想的課程內(nèi)容能否在課程實(shí)施過程中取得預(yù)期的教學(xué)效果。10年數(shù)學(xué)課程改革的實(shí)踐與反思使我們認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的組織“要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系；要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系；要重視直接經(jīng)驗(yàn)，處理好直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系”。

重視“過程”的目的不僅僅是為了“結(jié)果”，不再僅僅是為了更好地理解和掌握知識(shí)，過程本身也是數(shù)學(xué)教學(xué)追求的重要目標(biāo)。過程教學(xué)就是要讓學(xué)生不斷地經(jīng)歷觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等過程，在獲得數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的基礎(chǔ)上，積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟基本的數(shù)學(xué)思想方法，更重要的是培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)的能力。學(xué)生經(jīng)歷生動(dòng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，還有可能獲得豐富的情感體驗(yàn)，享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的挑戰(zhàn)與挫折、成功與喜悅，這對(duì)于人的持續(xù)發(fā)展是十分有益的。提倡并注重過程的教學(xué)，并不等于可以忽視教學(xué)的結(jié)果。過程以“結(jié)果”為目的，是結(jié)果的前提，而結(jié)果又以“過程”為基礎(chǔ)，是過程的延續(xù)。過程決定結(jié)果，但結(jié)果對(duì)過程有反作用。課程內(nèi)容的組織既要注重過程，同樣要注重結(jié)果，不可偏廢其中任何一個(gè)方面。

重視直觀，是由小學(xué)生生理與心理發(fā)展的特點(diǎn)決定的。小學(xué)生知識(shí)水平及所接觸事物的有限性，導(dǎo)致其思維發(fā)展的基本特點(diǎn)是從以具體形象思維為主逐步過渡到以抽象邏輯思維為主。并且，這種抽象邏輯思維在很大程度上仍然是直接與感性經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的，具有很大的具體形象性。因此，課程內(nèi)容的組織要重視學(xué)生經(jīng)歷直觀的學(xué)習(xí)活動(dòng)，經(jīng)由對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的觀察、比較、分析、抽象、概括等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)抽象數(shù)學(xué)內(nèi)容的認(rèn)知和理解。數(shù)學(xué)新課標(biāo)將“幾何直觀”列入數(shù)學(xué)課程有關(guān)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心詞之一，重視培養(yǎng)學(xué)生初步學(xué)會(huì)借助圖形的幾何性質(zhì)表征數(shù)學(xué)事實(shí)，描述、分析和解決數(shù)學(xué)問題，探索和發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)規(guī)律，初步形成從空間形式和關(guān)系的角度對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行抽象和推理論證（小學(xué)不涉及幾何證明）的能力。學(xué)生通過幾何直觀，利用圖形描述和分析抽象的數(shù)學(xué)問題，更有利于他們展開富有想象力和創(chuàng)造性的探求活動(dòng)，簡(jiǎn)明、形象地解決數(shù)學(xué)問題（包括“數(shù)與代數(shù)”中的數(shù)學(xué)問題），因而幾何直觀對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力是十分有益的。當(dāng)然，在重視直觀的同時(shí)，我們還需要注意抽象層面的數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性，引導(dǎo)學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

直接經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)的是學(xué)習(xí)者在從事學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)活動(dòng)中親歷親為，知識(shí)的習(xí)得、方法的建構(gòu)依賴于學(xué)習(xí)主體自身在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的感受和理解。杜威認(rèn)為，兒童的學(xué)習(xí)過程是從“做中學(xué)”和積累直接經(jīng)驗(yàn)開始，然后通過學(xué)習(xí)間接經(jīng)驗(yàn)和交往使直接經(jīng)驗(yàn)的意義得以拓展和豐富。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程過分關(guān)注學(xué)習(xí)個(gè)體對(duì)人類文化的傳承，過多強(qiáng)調(diào)間接經(jīng)驗(yàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，相對(duì)忽略學(xué)生對(duì)具體數(shù)學(xué)活動(dòng)的主動(dòng)參與和建構(gòu)，從而弱化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本身的理解和意義建構(gòu)。強(qiáng)調(diào)學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程而獲得直接經(jīng)驗(yàn)對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值，并不是說，我們就一定要弱化間接經(jīng)驗(yàn)對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義。直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與發(fā)展，各自具有另一方所無法替代的獨(dú)特功能，兩者缺一不可，同等重要。

二、進(jìn)一步優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)過程

教師對(duì)課程內(nèi)容的組織最終具體化為課堂教學(xué)的過程。應(yīng)該說，提高教學(xué)的有效性是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的永恒主題。十年的數(shù)學(xué)課程改革實(shí)踐，使我們對(duì)課堂教學(xué)有效性問題的認(rèn)識(shí)更為科學(xué)全面：教師的教學(xué)立場(chǎng)已經(jīng)由主要關(guān)注自己如何“教”轉(zhuǎn)向重點(diǎn)思考和研究學(xué)生如何“學(xué)”，教學(xué)出發(fā)點(diǎn)已經(jīng)由主要關(guān)注教材的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)向重點(diǎn)分析學(xué)生的現(xiàn)實(shí)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)水平，教學(xué)著力點(diǎn)已經(jīng)由主要關(guān)注自己如何講清楚轉(zhuǎn)向如何啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生展開積極的數(shù)學(xué)思考。當(dāng)前，我們改進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，需要進(jìn)一步凸顯學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，優(yōu)化組合學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，切實(shí)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和習(xí)慣。

1．切實(shí)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種復(fù)雜的活動(dòng)過程。雖然不同內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求有所區(qū)別，有的只要對(duì)基本概念原理簡(jiǎn)單識(shí)記，有的要能理解知識(shí)的來龍去脈，還有的要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用，但都需要學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，憑借已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)建構(gòu)才能達(dá)到。如果學(xué)生不經(jīng)過一系列的觀察、比較、分析、綜合、概括等認(rèn)識(shí)活動(dòng)，沒有多樣化的思維過程和認(rèn)知方式，沒有多種觀點(diǎn)的碰撞、爭(zhēng)論和比較，就難以真正理解和鞏固數(shù)學(xué)結(jié)論，難以獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。更重要的是，沒有以多樣性、豐富性為前提的教學(xué)過程，學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維就不可能培養(yǎng)起來。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生“從頭開始想問題”的意識(shí)，經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程。

過程磨礪思維。數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力、提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、形成和發(fā)展的過程，為學(xué)生展開豐富的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)提供了不可或缺的平臺(tái)。這一過程中知識(shí)的每一次深化和轉(zhuǎn)折都將引發(fā)思維的深入和靈活轉(zhuǎn)向。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中要善于捕捉知識(shí)的深化點(diǎn)和轉(zhuǎn)折點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)問題情境，啟發(fā)學(xué)生展開積極的思維活動(dòng)。例如，教學(xué)因數(shù)的特征時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體的實(shí)例，如15、16、36等數(shù)的因數(shù)，概括一個(gè)數(shù)的因數(shù)的特點(diǎn)。學(xué)生普遍都能說出“一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是有限的，最小的是1，最大的是它本身”。就在學(xué)生沉浸在發(fā)現(xiàn)的喜悅之中時(shí)，拋出問題：剛才我們是通過幾個(gè)數(shù)發(fā)現(xiàn)1是任何自然數(shù)（僅指非0自然數(shù)）的因數(shù)，任何自然數(shù)都是1的倍數(shù)。是不是所有的自然數(shù)都這樣，怎么驗(yàn)證一下？有的學(xué)生說可以把這些自然數(shù)都列舉出來，有的學(xué)生說那樣太麻煩。此時(shí)，再依次出示由1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)……相同小正方形拼成的長(zhǎng)方形圖，引導(dǎo)學(xué)生用一個(gè)概括的乘法算式1×（ ）=（ ）來表示所有的圖形，從而借助一般化的算式驗(yàn)證剛才得到的結(jié)論。學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的問題情境中經(jīng)歷了觀察、比較、抽象、概括等探索性思維活動(dòng)過程，數(shù)學(xué)思維就得到了磨礪。

過程孕育思想。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生、發(fā)展的根本，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓。數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)知識(shí)和方法顯得更加上位，抽象性更強(qiáng)。只有以數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程為載體，小學(xué)生才有可能逐步感悟其中蘊(yùn)涵的基本數(shù)學(xué)思想方法。例如，教學(xué)圓的面積公式的推導(dǎo)，我們首先引導(dǎo)學(xué)生回憶以前研究一個(gè)新圖形的面積時(shí)都用到過哪些方法，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想思考新的問題。之后，引導(dǎo)學(xué)生依次將圓平均分成2份、4份、8份……體會(huì)轉(zhuǎn)化后的圖形越來越接近長(zhǎng)方形。在這一過程中，巧妙地借助“不像”、“有點(diǎn)輪廓”“有點(diǎn)像”、“更像”、“更接近”這樣的生活語言，并引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合動(dòng)手操作和動(dòng)態(tài)演示，思考“和前面拼成的圖形比，又有什么變化”，“如果讓你把圓剪成128份，有什么感覺”，使抽象難懂的極限思想生動(dòng)地外化為一個(gè)“無限趨近”的過程。學(xué)生在圓的面積公式推導(dǎo)的過程中感受了轉(zhuǎn)化和極限的數(shù)學(xué)思想。

過程積淀經(jīng)驗(yàn)，生長(zhǎng)智慧。數(shù)學(xué)新課標(biāo)將積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)，關(guān)注人在學(xué)習(xí)過程中認(rèn)知、情感和體驗(yàn)的內(nèi)在豐富性，關(guān)注了人基于知識(shí)和能力基礎(chǔ)的智慧生長(zhǎng)。簡(jiǎn)單地說，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，就是親自或間接經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過程而獲得的經(jīng)驗(yàn)。經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過程是積累基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的唯一通道。和數(shù)學(xué)新課標(biāo)在課程內(nèi)容組織中的觀點(diǎn)相一致，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)特別需要重視學(xué)生親自經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過程獲得的直接經(jīng)驗(yàn)。在具體的情境中活動(dòng)，才能逐步增強(qiáng)對(duì)情境的感知、辨別與頓悟，而后者是智慧最重要的表征。在教學(xué)中，我們要積極創(chuàng)設(shè)基于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要的活動(dòng)情境，激發(fā)學(xué)生的活動(dòng)動(dòng)機(jī)，調(diào)動(dòng)他們已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，促使他們積極主動(dòng)地參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中。同時(shí)，還要給學(xué)生提供較為充足的時(shí)間和空間，引導(dǎo)學(xué)生參與、交流、內(nèi)化、反思。正如后現(xiàn)代主義者的代表人物多爾所言，知識(shí)不是固定在那里等待被發(fā)現(xiàn)的，只有通過我們的反思性行為才能得以不斷擴(kuò)張和生成。

“綜合與實(shí)踐”這一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、生長(zhǎng)智慧的重要載體?！熬C合與實(shí)踐”的教學(xué)，要使學(xué)生充分地全過程參與活動(dòng)，積極動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口，注重?cái)?shù)學(xué)與生活實(shí)際、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)之間的聯(lián)系，努力綜合運(yùn)用有關(guān)的知識(shí)與方法解決實(shí)際問題，培養(yǎng)問題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，體驗(yàn)如何發(fā)現(xiàn)問題，如何選擇適合自己完成的問題，如何把實(shí)際問題變成數(shù)學(xué)問題，如何設(shè)計(jì)解決問題的方案，如何選擇合作的伙伴，如何有效地呈現(xiàn)實(shí)踐的成果，讓別人體會(huì)自己成果的價(jià)值。要在以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，通過問題或任務(wù)引領(lǐng)學(xué)生全程參與相對(duì)完整的實(shí)踐過程，展現(xiàn)思考過程，交流收獲體會(huì)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)創(chuàng)造潛能。

2．重視教學(xué)方式的改善

教學(xué)方式直接影響著課堂教學(xué)生態(tài)，決定著學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)和發(fā)展?fàn)顟B(tài)。十年數(shù)學(xué)課程改革的經(jīng)歷使我們普遍認(rèn)識(shí)到，“認(rèn)真聽講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”。在采用示范、講解、演示、說明等教學(xué)方式時(shí)，需要關(guān)注學(xué)生能否有意義地接受；在采用動(dòng)手實(shí)踐、自主探索的教學(xué)方式時(shí)，需要協(xié)調(diào)好學(xué)生主動(dòng)性和教師指導(dǎo)性之間的關(guān)系。教學(xué)方式?jīng)]有好壞之別，只有適切與否，需要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際需要，靈活組合多種教學(xué)方式，提升每一種教學(xué)方式的內(nèi)在品質(zhì)。為了進(jìn)一步改善課堂教學(xué)生態(tài)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)特別是課堂教學(xué)過程中，還要特別注意面向全體學(xué)生，尊重學(xué)生差異，重視運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

面向全體學(xué)生，關(guān)注差異。同一個(gè)班級(jí)中的學(xué)生在基礎(chǔ)、能力、興趣、氣質(zhì)和志向方面存在著廣泛的差異。我們?cè)谡n堂上同時(shí)面向全班幾十個(gè)學(xué)生，步調(diào)統(tǒng)一，很難照顧到全班學(xué)生的個(gè)別差異。面向全體至少體現(xiàn)在兩個(gè)層面：一是機(jī)會(huì)均等，即面向全體的課堂應(yīng)努力關(guān)注每一個(gè)學(xué)生，不讓任何學(xué)生處于教師視野的盲區(qū)上，讓每一個(gè)學(xué)生都享受到良好的數(shù)學(xué)教育；二是差異發(fā)展，即面向全體的課堂必然關(guān)注差異，應(yīng)努力適應(yīng)并促進(jìn)每一個(gè)學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展，讓每一個(gè)學(xué)生在各自原有的基礎(chǔ)上得到盡可能大的發(fā)展。在數(shù)學(xué)教學(xué)中“面向全體”，從教學(xué)的起點(diǎn)來看，就是要面向?qū)W生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，基于學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)；從教學(xué)的過程來看，要注意因材施教，關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異；從教學(xué)的結(jié)果來看，每個(gè)學(xué)生都要達(dá)到數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的基本要求，并且在各自基礎(chǔ)之上獲得有差異的發(fā)展，發(fā)展的速度未必相同，路徑未必同一。

運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)。啟發(fā)式教學(xué)主要是指教師從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)“憤悱”的問題情境，啟迪學(xué)生主動(dòng)思維。我們?cè)诮虒W(xué)過程中靈活運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)，一要重視學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的激發(fā)，通過不斷創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的心理需求；二要變過多的講授、告訴為學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探索和合作交流，變學(xué)生聽數(shù)學(xué)、說數(shù)學(xué)為“做”數(shù)學(xué)、想數(shù)學(xué)；三要給學(xué)生留有較大的思維空間，并準(zhǔn)確把握學(xué)生思維的走向，通過富有啟發(fā)性的問題推進(jìn)學(xué)生的思考不斷走向深入；四要重視采用生動(dòng)直觀的教學(xué)手段幫助學(xué)生積累豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，并由此逐步上升到抽象層面的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)。

培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。教學(xué)就是教師“教”學(xué)生“學(xué)”的過程，葉圣陶先生早就說過：“教是為了不教?！睂W(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力是在教師的指導(dǎo)下逐步形成的。數(shù)學(xué)新課標(biāo)豐富了“教學(xué)觀”的內(nèi)涵，在“交往互動(dòng)、共同發(fā)展”的基礎(chǔ)上，增加了“積極參與”。而課堂參與需要從行為參與到思維參與再到情感參與，只有學(xué)生主動(dòng)參與，才能成為真正的課堂參與。我們?cè)诮虒W(xué)過程中需要給學(xué)生提供自主閱讀書本、思考和討論問題、回顧和反思知識(shí)形成過程的機(jī)會(huì)，從而掌握基本的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技能，如閱讀的技能、計(jì)算的技能、根據(jù)情境畫示意圖的技能；掌握基本的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，主要是數(shù)學(xué)思維的方法，如觀察的方法、實(shí)驗(yàn)的方法、猜測(cè)的方法、推理的方法、驗(yàn)證的方法等。應(yīng)該說，江蘇小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)初步建構(gòu)起以“真實(shí)、樸實(shí)、扎實(shí)”為價(jià)值追求，以“活躍、活潑、靈活”為呈現(xiàn)方式，以“精細(xì)、精練、精致”為藝術(shù)特征的整體風(fēng)貌。在這一基礎(chǔ)上，我們還要積極探索如何適度增強(qiáng)課堂教學(xué)的開放性，特別是開放更大的學(xué)生自主學(xué)習(xí)的空間，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

3．重視學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)和學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成。

知識(shí)與技能、過程與方法、情感與態(tài)度三維課程目標(biāo)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的價(jià)值追求。數(shù)學(xué)教學(xué)需要關(guān)注三維目標(biāo)在課堂教學(xué)過程中的整體實(shí)現(xiàn)，但并不等于每一節(jié)課都要平均使用力量，更不能割裂開。不過，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是行為參與、情感參與和認(rèn)知參與的組合，我們要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感態(tài)度體驗(yàn)。積極的情感體驗(yàn)促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知的靈活性，使學(xué)生做出決定時(shí)更深思熟慮。如果沒有情感態(tài)度的參與，學(xué)習(xí)活動(dòng)既不能發(fā)生，也不能維持。

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。興趣是人們力求認(rèn)識(shí)某種事物和從事某項(xiàng)活動(dòng)的意識(shí)傾向。如果沒有興趣，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就可能因?yàn)橥庠诹α康膹?qiáng)迫而成為心理上的沉重負(fù)擔(dān)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣一開始往往表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的好奇心，隨著年齡的增長(zhǎng)和對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)程度的加深，逐漸萌生出強(qiáng)烈的數(shù)學(xué)求知欲。這時(shí)的興趣就更多地指向數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)活動(dòng)本身。因此，我們要根據(jù)不同年段學(xué)生的年齡特點(diǎn)，以激發(fā)學(xué)生的直接興趣為開端，注意通過教學(xué)素材的選擇、教學(xué)情境的設(shè)計(jì)與問題的提出，巧妙地制造認(rèn)知沖突，逐步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的間接興趣，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。數(shù)學(xué)新課標(biāo)還明確要求學(xué)生“養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等學(xué)習(xí)習(xí)慣”。史寧中教授認(rèn)為，良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣不是我們一般認(rèn)為的課前預(yù)習(xí)、上課認(rèn)真聽講、課后復(fù)習(xí)，良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣第一條就是集中精力。他說，學(xué)數(shù)學(xué)不用筆不用紙，用腦袋想就能想出來，而這正是鍛煉一個(gè)人集中精力思考問題的辦法。數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)、數(shù)學(xué)方法的理解和問題的解決、數(shù)學(xué)思想方法的感悟和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，都需要學(xué)生能夠集中精力進(jìn)行獨(dú)立思考，將自己的注意完全沉浸在對(duì)問題的思考之中。強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)方式的多樣與靈活，與重視獨(dú)立思考并不抵觸。學(xué)生只有對(duì)問題進(jìn)行獨(dú)立、深入的思考，才會(huì)產(chǎn)生與老師或同伴進(jìn)行交流、碰撞與分享的需要。我們?cè)诮虒W(xué)過程中要細(xì)心觀察學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的表現(xiàn)，如學(xué)生是不是獨(dú)立認(rèn)真地完成練習(xí)，是否養(yǎng)成了檢驗(yàn)和反思的習(xí)慣等，及時(shí)評(píng)價(jià)與引導(dǎo)，提醒學(xué)生改正不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣，逐步養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

我們必須進(jìn)一步研究和落實(shí)數(shù)學(xué)新課標(biāo)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提出的基本要求，切實(shí)改進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，堅(jiān)持面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要，激發(fā)每一個(gè)小學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，關(guān)心小學(xué)生學(xué)習(xí)成就的變化，關(guān)心小學(xué)生學(xué)習(xí)生活質(zhì)量的提升，關(guān)愛小學(xué)生的健康成長(zhǎng)。

（王林，江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室，210013；侯正海，南京東方數(shù)學(xué)教育科學(xué)研究所，210036）