萬變不離其宗,根源來自課本

李新蓮

摘要： 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，課本中出現(xiàn)的一些習(xí)題，把它們作為方法結(jié)論直接應(yīng)用，對(duì)于解決一些比較復(fù)雜的問題有極大的幫助.本文結(jié)合一個(gè)課本結(jié)論，予以舉例說明.

關(guān)鍵詞： 課本結(jié)論運(yùn)用技巧

人民教育出版社全日制普通高中教材第二冊(cè)（上）第17頁習(xí)題6.3第7題：若a，b∈R，x、y∈R，且a+b=1，則ax+by≥（ax+by）（*）（當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，取“＝”號(hào)）.

此題看似簡(jiǎn)單，常常被同學(xué)們所忽視，但它的條件和結(jié)論特征卻非常明顯，由此聯(lián)想到帶有條件“x+y=1”的最值和不等式問題，用（*）作“橋”求解，結(jié)果十分奏效，充分顯示出課本習(xí)題（*）的應(yīng)用價(jià)值.

例1. 已知x，y∈R，且x+y=1，求+的最小值.

分析：這是一道方法較多的題目，但用（*）思考，別有一番風(fēng)味.

解析：由（*）得

+=x?（）+y?（）≥（x?+y?）=9

當(dāng)且僅當(dāng)=，即x=，y=時(shí)等號(hào)成立，

故（+）=9.

例2. 設(shè)a，b，x，y皆為正實(shí)數(shù)，且x+y=1，求證：+≥a+b.

分析：初看此題，似乎難以入手，但用（*）思考，即可從根號(hào)下部分打開突破口.

證明：由（*）得：

ax+by=xa+yb≥（xa+yb）

即≥xa+yb

同理可得≥ya+xb

兩式相加，得

+≥（x+y）（a+b）=a+b.

例3. 已知a，b∈R，且a+b=1，求證+≥.

分析：此題與例2不同，條件等式和特征不等式左邊根號(hào)下部分關(guān)系不明顯，似乎不能用（*）解答，但考慮到不等式右邊根號(hào)下部分和等號(hào)成立的條件，可對(duì)左邊根號(hào)下部分適當(dāng)變形.

證明：由（*）得

a+1=5［a+（）］≥5（?a+×）=（a+2）

所以≥（a+2）

同理可得≥（b+2）

兩式相加，得+≥.

也可將（*）推廣為：若a，b，c∈R，x，y，z∈R，且a+b+c=1，則ax+by+cz≥（ax+by+cz）（**）（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)，取“＝”號(hào)）.

例4. 已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，求++的最小值.

解：由（**）得：

++=x?（）+y?（）+z?（）≥（x?+y?+z?）=36

當(dāng)且僅當(dāng)==，即x=，y=，z=時(shí)等號(hào)成立，

故（++）=36.