有界性定理的新證法有界性定理的新證法

張志國

【摘要】本文利用區(qū)間套和連續(xù)函數的局部有界性給出了閉區(qū)間上連續(xù)函數的有界性定理的一種全新的證明方法。

【關鍵詞】閉區(qū)間列；區(qū)間套；局部有界性

1幣 言

連續(xù)函數是數學分析中非常重要的一類函數。連續(xù)是討論函數的導數、微分、中值定理、積分等的基礎，而閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質也顯得非常重要。在閉區(qū)間上函數的性質中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基礎。

在很多數學教材和文獻中，給出了有界性定理的證明方法。大體上歸結為兩類：一是應用有界覆蓋定理，一是應用致密性定理。

本文通過區(qū)間套定理和局部有界性定理給出了有界性定理的新的證明方法。

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定義1 設閉區(qū)間列{［an,bn］}具有如下性質：

（1）［an,bn］劍踑n+1,bn+1］，n=1,2,…；

（2）limn→∞(bn-an)=0，

則稱{［an,bn］}為閉區(qū)間套，或簡稱區(qū)間套。

定理1 （區(qū)間套定理）若{［an,bn］}是一個區(qū)間套，則在實數系中存在唯一的一點ξ，使得ξ∈［an,bn］，n=1,2,…，即an≤ξ≤bn,n=1,2,…。

推論 若ξ∈［an,bn］(n=1,2,…)是區(qū)間套{［an,bn］}所確定的點，則對任給的ξ>0，存在N>0，使得當n>N時有［an,bn］糢(ξ；ε)。

定理2 （局部有界性）若函數f(x)在點x0連續(xù)，則f(x)在某U(x0)內有界。

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有界性定理 若函數f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則f(x)在［a,b］上有界。

證明 （用反證法）假設f(x)在［a,b］上無界。

將［a,b］等分為兩個子區(qū)間，則其中至少有一個子區(qū)間，使得f(x)在其上無界。記這個子區(qū)間為［a1,b1］，則［a1,b1］跡踑,b］，且b1-a1=12(b-a)。

再將［a1,b1］等分為兩個子區(qū)間，同樣，其中至少有一個子區(qū)間，使得f(x)在其上無界。記這個子區(qū)間為［a2,b2］，則［a2,b2］跡踑1,b1］，且b2-a2=12(b1-a1)=122(b-a)。

重復上述步驟并不斷地進行下去，則得到一個閉區(qū)間列{［an,bn］}，它滿足

［an,bn］劍踑n+1,bn+1］,n=1,2,…，bn-an=12n(b-a)→0(n→∞)。

即{［an,bn］}是區(qū)間套，且其中每一個閉區(qū)間都使得f(x)在其上無界。

由區(qū)間套定理，存在唯一的一點ξ∈［an,bn］，n=1,2,…，由定理1的推論可知，對于任意的ε>0，存在N>0，使得當n>N時有［an,bn］糢(ξ;ε)。

即f(x)在ξ的ε鄰域U(ξ;ε)無界。這與連續(xù)函數的局部有界性定理矛盾。從而證得連續(xù)函數f(x)在［a,b］有界。

【參考文獻】

［1］華東師范大學數學系。數學分析（第三版）。北京：高等教育出版社，2001。

［2］嚴子謙，尹景學，張然。數學分析。北京：高等教育出版社，2004。