用三次函數(shù)培養(yǎng)學(xué)生的解題能力用三次函數(shù)培養(yǎng)學(xué)生的解題能力

陳揚浩 胡洪新

由于新的課程體系確立了以培養(yǎng)能力為核心的新教育觀念和思想，因此統(tǒng)觀近幾年的文科高考數(shù)學(xué)試題和各地模擬試題中，對函數(shù)的考查并不僅僅在一些常用的函數(shù)上，出現(xiàn)了許多以三次函數(shù)為背景，成功地培養(yǎng)和考查了學(xué)生各方面能力。

（一）以三次函數(shù)為依托，培養(yǎng)學(xué)生分析運用函數(shù)性質(zhì)的能力

1?？疾楹瘮?shù)的奇偶性和單調(diào)性

例1 已知函數(shù)f(x)=x3+px+q(x∈R)為奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)，則（）。

A。p=0,q=0B。p∈R,q=0

C。p≤0,q≠0D。p≥0,q=0

解析 f′(x)=3x2+p≥0恒成立，易知p≥0，故選D。

2。運用函數(shù)性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想解題

例2 已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖像如圖所示，則（）。

A。b∈(-∞,0)

B。b∈(0,1)

C。b∈(1,2)

D。b∈(2,+∞)

解析 由條件f(0)=0=d，

由f(x)=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax。

又 當x>2時，f(x)>0輆>0，∴b=－3a<0，故選A。

（二）以三次函數(shù)為載體，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力

1?？疾榧现R，特別注意不要忘了空集

例3 設(shè)f(x)=x3-x，M={x|1-k

解 N={x|f(x)<0}={x|x3-x<0}={x|x<-1或0

又 M糔,

∴1-k

k≤-1或1-k

1-k≥0,

k≤1或1-k≥k, 解得:k≤1。

∴k的取值范圍為{k|k≤1}。

2?？疾楹瘮?shù)不等式等知識

例4 設(shè)f(x)=x3(x∈R)，若0≤θ<π2時，f(msinθ)+f(1-m)>0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。

解 f(-x)=-f(x)，又f′(x)=3x2≥0恒成立，f(x)為奇函數(shù)，又在(-∞,+∞)上為增函數(shù)，而f(msinθ)+f(1-m)>0趂(msinθ）>f(m-1)，

∴msinθ>m-1(1-sinθ)m<1輒<11-sinθ。

又 0<1-sinθ<1,∴11-sinθ>1恒成立。

故m∈(-∞,1］。

(三）以三次函數(shù)為核心，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力

例5 已知函數(shù)f(x)=(x3-6x2+3x+t)?ex,t∈R依次在x=a，x=b，x=c（a

（1）求t的取值范圍。

（2）若a,b,c等差，求t的值。

解 （1）f′(x)=（x3-6x2+3x+t)′?ex+(x3-6x2+3x+t)?(ex)′=（x3-3x2-9x+3+t)?ex。

令g(x)=x3-3x2-9x+3+t，又ex>0恒成立，依條件f′(x)=0有三個不等實根，實質(zhì)是g(x)=x3-3x2-9x+t+3有三個不同零點，由三次函數(shù)特性知，g(x)極大值＞0，g(x)極小值＜0。

又 g′(x)=3x2-6x-9，令g′(x)=0，則有x=－1或x=3。

而g′(x)>0輝<-1或x>3,g′(x)<0-1

因此有g(shù)(-1)>0

g(3)<0輙+8>0,

t-24<0,

∴－8

（2）由條件g(x)=x3-3x2-9x+3+t=(x-a)(x-b)?(x-c)。

即x3-3x2-9x+3+t=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc。

∴a+b+c=3,

ab+ac+bc=-9,

-abc=t+3,

a+c=2b,

∴t＝8。