例談數(shù)列通項(xiàng)公式的求法例談數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

唐洪偉

【摘要】新教材改革之后，數(shù)列作為高考的必考內(nèi)容，在高考中以中低檔難度為主。而求數(shù)列的通項(xiàng)公式研究項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系是進(jìn)一步考查數(shù)列其他問題的基礎(chǔ)。本文作者就幾種常見數(shù)列通項(xiàng)公式求法略作論述。

【關(guān)鍵詞】數(shù)列；通項(xiàng)公式；求法

新教材改革之后，數(shù)列作為高考的必考內(nèi)容，在高考中以中低檔難度為主。而求數(shù)列的通項(xiàng)公式研究項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系是進(jìn)一步考察數(shù)列其他問題的基礎(chǔ)。下面是幾種常見數(shù)列通項(xiàng)公式的求法。

一、公式法

已知數(shù)列是等差或者等比數(shù)列用公式法。

例1 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a2=7，a5=16,數(shù)列{bn}是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，點(diǎn)(log2bn,log2bn+1)在直線y=x+1上，求數(shù)列{an}{bn}的通項(xiàng)公式。

解 由已知得，公差d=a5-a23=3，

∴an=a2+(n-2)d=3n+1。

∵(log2bn,log2bn+1)在直線y=x+1上，

∴l(xiāng)og2bn+1=log2bn+1,∴bn+1bn=2。

∴{bn}是等比數(shù)列，bn=2n。

二、已知sn,求an

例2 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3+2n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解 當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=5。

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-1。

當(dāng)n=1時(shí)不符合,∴an=5,n=1,

2n-1,n≥2。（此時(shí)，必須注意對(duì)n=1檢驗(yàn)）

三、疊加法

已知an+1-an=f(n)，用疊加法。

例3 （2010年全國(guó)新課標(biāo)）數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1-an=3?22n-1,求{an}的通項(xiàng)公式。

解 由an+1-an=3?22n-1得

a2-a1=3?2,a3-a2=3?23,a4-a3=3?25,…，an-an-1=3?22n-3。

將n-1個(gè)式子相加，得

an-a1=3?（2+23+25+…+22n-3)=3?2（1-4n-1)1-4。

∴an=22n-1。

四、疊乘法

已知an+1an=f(n)，用疊乘。

例4 已知數(shù)列{an},a1=12,an=n-1n+1an-1,(n≥2),求{an}的通項(xiàng)公式。

解 由已知得anan-1=n-1n+1,(n≥2)。

∴a2a1=13,a3a2=24,a4a3=35，…，an-1an-2=n-2n,anan-1=n-1n+1。

將以上n-1個(gè)式子相乘，得

ana1=13?24?35?…?n-2n?n-1n+1。

∵a1=12,∴an=1n(n+1),n=1時(shí)也符合。

∴an=1n(n+1)。

五、構(gòu)造法

當(dāng){an}不是等差或者等比數(shù)列時(shí)，可以構(gòu)造出等差或者等比數(shù)列。

例5 數(shù)列{an}滿足a1=4,an=3an-1-2，(n≥2)，求an。

解 由an=3an-1-2,得(an-1)=3(an-1-1)。

∴{an-1}為首項(xiàng)是3，公比為3的等比數(shù)列。

∴an-1=3n。

∴an=3n+1。

說明 如pan+1=qan+c,構(gòu)造{an+b}為等比數(shù)列。

六、猜想數(shù)學(xué)歸納法證明

{an}不能用上述方法時(shí)，我們可以根據(jù)遞推公式求出前幾項(xiàng)，猜想{an}，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明。

例6 已知數(shù)列{an},a2=6，且an+1+an-1an+1-an+1=n,求a1,a3,a4,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)式公式。

解 由已知得a1=1,a3=15,a4=28,

猜想an=n(2n-1)。

（1）當(dāng)n=1，a1=1成立。

(2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak=k(2k-1)成立。

則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1+k(2k+1)-1ak+1-k(2k-1)+1=k，整理,得

ak+1=(k+1)［2(k+1)-1］?！喈?dāng)n=k+1時(shí)成立。

由（1）（2）可知對(duì)衝∈N+命題成立，∴an=n(n+1)。以上是數(shù)列通項(xiàng)公式的常見幾種求法，在遇到具體問題時(shí)應(yīng)恰當(dāng)選擇方法，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式。