一次例題教學(xué)中凸顯的一堂高效數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課

劉定定

課堂教學(xué)我注重了小組合作學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)問(wèn)題都是先由學(xué)生小組討論，自主探究、思考，然后讓每一小組把討論的結(jié)果展示出來(lái)，由師生共同探究。我在高三復(fù)習(xí)不等式最值（值域）的解法時(shí)，在上課前精選了幾道我自己認(rèn)為很有代表性的例題，目的是通過(guò)幾道例題將不等式值域（最值）常用解法歸納總結(jié)，如配方法、基本不等式法、函數(shù)單調(diào)性法、數(shù)形結(jié)合法、導(dǎo)數(shù)法和向量法等。但由于例題的局限性，要講清楚這些方法，通常情況下需要各種不同的例題，兩個(gè)課時(shí)完成，以說(shuō)明這些方法的應(yīng)用特征和技巧。但是在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，第一道例題在學(xué)生討論的過(guò)程中產(chǎn)生了意想不到的現(xiàn)象，各組提出了許多種做法，幾乎涵蓋了我預(yù)設(shè)的求不等式值域（最值）的各種方法。

例題 已知a>0,b>0,a+b=1,求a+1+b+1的最大值。

黑板上寫出題目，各個(gè)小組迅速討論，幾分鐘過(guò)后，很快就有學(xué)生舉手，我要求各組依次把他們的方法展示出來(lái)，有一個(gè)小組是這樣解的：

方法一 令M=a+1+b+1，等式兩邊平方，然后利用基本不等式得：M2=a+1+b+1+2a+1?b+1≤3+(a+1+b+1)=6，得最大值為6。

還有一個(gè)小組利用課本習(xí)題的結(jié)論，也是基本不等式：

方法二 教材（人教版）不等式一節(jié)的習(xí)題a2+b22≥a+b22的變形a+b≤2?a2+b2，(a>0,b>0)證明方法更加直接，a+1+b+1≤2(a+1+b+1)=6。我們分析了a，b的取值范圍和等號(hào)成立的條件，我補(bǔ)充說(shuō)，課本上的這道題也是一個(gè)非常重要的不等式，我要求學(xué)生今后求最值時(shí)注意應(yīng)用。

至此，我選這道題的目的已經(jīng)達(dá)到，準(zhǔn)備進(jìn)入下一道題，然后各組學(xué)生像炸開鍋一樣在說(shuō)著自己的做法，有一個(gè)組的同學(xué)的方法也是利用課本上一道習(xí)題的結(jié)論：

方法三 利用課本習(xí)題(ac+bd)≤(a2+b2)(c2+d2)證明1?a+1+1?b+1≤(12+12)?(a+1+b+1)≤6。我一看是用柯西不等式，我當(dāng)即表?yè)P(yáng)了這兩個(gè)組的同學(xué)，表?yè)P(yáng)他們能活學(xué)活用，對(duì)教材上的知識(shí)掌握得好，基本功扎實(shí)，我們就是要會(huì)用我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)解決問(wèn)題。

課上到這兒，我感覺(jué)舉手的學(xué)生很多，同學(xué)們都躍躍欲試，我索性改變了原來(lái)設(shè)計(jì)的教學(xué)過(guò)程，放手讓學(xué)生繼續(xù)探究這一道題，繼續(xù)展示他們的做法，其他組的學(xué)生陸續(xù)也提出了一些做法。

方法四 某一組的學(xué)生提出在方法一的形式下利用二次函數(shù)求最大值，M2=3+2(a+1)(2-a)=3+2-a2+a+2，顯然，當(dāng)a=12時(shí)，二次函數(shù)f(a)=-a2+a+2,(0

方法五 令y=a+1+2-a，則y′=12a+1+-122-a，令y′=0，可得a=12的時(shí)候有最大值6。以上兩種方法是利用函數(shù)求最值的方法，至此我感受到，小組合作學(xué)習(xí)這種學(xué)習(xí)形式，讓學(xué)生之間能有機(jī)會(huì)討論，在討論中促使學(xué)生產(chǎn)生思維的火花，思考出更多好的做題方法。在學(xué)生的進(jìn)一步探究下，又有一組學(xué)生給出了下面的兩種解法，更是妙趣橫生，令人嘆為觀止。

方法六 構(gòu)造向量法。m=(a+1,b+1)，n=(1,1)，利用m?n≤|m||n|證明，即：a+1+b+1=m?n≤3?2=6，當(dāng)且僅當(dāng)向量m,n同向時(shí)等號(hào)成立。又是一個(gè)十分巧妙的處理，利用我們學(xué)過(guò)的知識(shí)解決問(wèn)題是我們十分期待的。

方法七 設(shè)x=a+1，y=b+1,則a=x2-1,b=y2-1，代入a+b=1，有x2+y2=3，M=x+y，巧妙換元，以下可以用基本不等式證明，M2=x2+y2+2xy≤x2+y2+x2+y2=6，或者繼續(xù)用換元法，令x=3cosθ,y=3sinθ，代入a+1+b+1=x+y=6sinθ+π4≤6。討論至此，我和學(xué)生共同把上面所有方法加以歸納整理，我發(fā)現(xiàn)幾乎涵蓋了之前要通過(guò)幾道題目所要解決的求最值的方法。

通過(guò)這樣一道例題，學(xué)生在小組討論中師生共同探究得到了多種解法，整堂課學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，去探究，去思考，教師只是在宏觀上作了組織和指導(dǎo)，教師幾乎沒(méi)有講解，避免了“滿堂灌”，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，除了讓學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)，還讓學(xué)生在不停的思考和發(fā)現(xiàn)中了解知識(shí)發(fā)生的過(guò)程，提高了學(xué)生思維能力，達(dá)到了我們期待的教學(xué)目標(biāo)。

教學(xué)相長(zhǎng)，互為補(bǔ)充，如何構(gòu)建高效的課堂是我們教育工作者一直探討的問(wèn)題。什么樣的課堂高效？我想只有學(xué)生成了課堂的主角，在教學(xué)過(guò)程中能引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，主動(dòng)探究，自己感受知識(shí)發(fā)生的過(guò)程，從而讓學(xué)生掌握知識(shí)、提高能力，我想這樣的課堂才是高效的課堂。因此，教師備課時(shí)既要備教材又要備學(xué)生，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中可能出現(xiàn)的情況加以預(yù)設(shè)，教師要有心理準(zhǔn)備。隨著新課程改革的不斷深入，教師和學(xué)生學(xué)習(xí)角色的轉(zhuǎn)變，學(xué)生有了更多的時(shí)間和機(jī)會(huì)思考問(wèn)題，這樣一來(lái)，對(duì)我們教師的要求就更高了，要求教師有更高的應(yīng)變能力和駕馭課堂的能力。雖然本節(jié)課只講了一道例題，盡管自己之前的教學(xué)設(shè)計(jì)沒(méi)有完成，但從教學(xué)效果看，比按照我預(yù)設(shè)的那些習(xí)題完成教學(xué)任務(wù)所達(dá)到的教學(xué)效果要好得多。本節(jié)課既充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，又讓學(xué)生在小組合作學(xué)習(xí)的過(guò)程中，體會(huì)到了自己思考、探究、成功和發(fā)現(xiàn)的喜悅。這樣的復(fù)習(xí)課不僅讓學(xué)生掌握知識(shí)又提高學(xué)生的能力，這樣的教學(xué)效果是我們應(yīng)該期望看到的。