基于ARIMA模型在社會(huì)消費(fèi)品零售總額預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

戰(zhàn)毅 李亞杰

[摘要]為了研究ARIMA模型對(duì)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)，本文利用統(tǒng)計(jì)軟件EViews7.2，通過(guò)分析我國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售總額從2003年1月到2010年12月的月度數(shù)據(jù)，建立了八種不同參數(shù)的乘法季節(jié)ARIMA模型。根據(jù)模型的預(yù)測(cè)精度、檢驗(yàn)結(jié)果，本文確定了最優(yōu)預(yù)測(cè)模型ARIMA(2,2,0)×(1，1，1)12，并運(yùn)用該模型來(lái)預(yù)測(cè)我國(guó)2011年1月至12月的社會(huì)消費(fèi)品零售總額，并與2011年實(shí)際數(shù)值進(jìn)行比較，擬合效果良好。對(duì)于2012年的展望，筆者認(rèn)為，其值仍將呈速度較快的上升趨勢(shì)。

[關(guān)鍵詞]乘法季節(jié)ARIMA模型社會(huì)消費(fèi)品零售總額預(yù)測(cè)差分檢驗(yàn)

一、引言

社會(huì)消費(fèi)品零售總額（social retailgoods）（文中用SR簡(jiǎn)稱(chēng)）是指批發(fā)和零售業(yè)、住宿和餐飲業(yè)以及其他行業(yè)直接售給城鄉(xiāng)居民和社會(huì)集團(tuán)的社會(huì)消費(fèi)品零售總額。它能反映一定時(shí)期內(nèi)人民物質(zhì)文化生活水平的提高情況，反映社會(huì)商品購(gòu)買(mǎi)力的實(shí)現(xiàn)程度，以及零售市場(chǎng)的規(guī)模狀況。

ARIMA 模型是用于一個(gè)國(guó)家或地區(qū)經(jīng)濟(jì)和商業(yè)預(yù)測(cè)中比較先進(jìn)適用的時(shí)間序列模型之一。本文將以我國(guó)2003年至2010年SR歷史數(shù)據(jù)為樣本，通過(guò)ARIMA 模型,試圖發(fā)現(xiàn)我國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售總額的內(nèi)在規(guī)律，進(jìn)行后期預(yù)測(cè)，并通過(guò)與2011年數(shù)據(jù)比較檢驗(yàn)來(lái)探究模型的準(zhǔn)確性。然而，在對(duì)含有季節(jié)、趨勢(shì)等成分的時(shí)間序列進(jìn)行ARIMA模型預(yù)測(cè)時(shí)，就不能像對(duì)純粹的滿足可解條件的ARIMA模型那么簡(jiǎn)單了，一般的ARIMA模型有多個(gè)參數(shù)，沒(méi)有季節(jié)成分可以記為ARIMA(p,d,q)，其中d代表差分的階數(shù)。在有已知的固定周期S時(shí)，模型多了四個(gè)參數(shù)，可記為ARIMA(p,d,q)×(P，D，Q)s。

二、模型的建立

本文以我國(guó)2003年至2010年96個(gè)月的SR歷史數(shù)據(jù)為樣本進(jìn)行分析。來(lái)源：http://www.stats.gov.cn/was40/gjtjj_data_outline.jsp(國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站)。 數(shù)據(jù)趨勢(shì)如圖1所示。

1.數(shù)據(jù)分析及平穩(wěn)化

在ARMA 模型中，時(shí)間序列是由一個(gè)零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程產(chǎn)生的。也就是說(shuō)，這個(gè)過(guò)程的隨機(jī)性質(zhì)在時(shí)間上保持不變，在圖形上表現(xiàn)為所有樣本點(diǎn)都在某一水平線隨機(jī)上下波動(dòng)。因此，對(duì)于非平穩(wěn)時(shí)間序列，需要預(yù)先對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行差分平穩(wěn)化處理。

(1)平穩(wěn)性檢驗(yàn)

利用Eviews7.2繪制2007年~2010年我國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售總額的時(shí)間序列數(shù)據(jù){Xt}，如圖1。通過(guò)圖1看出，我國(guó)SR序列具有明顯的非平穩(wěn)性，呈現(xiàn)上升趨勢(shì)。

(2)對(duì)變量{Xt}進(jìn)行差分

對(duì)變量{Xt}進(jìn)行對(duì)數(shù)處理，即{LnXt}，得到{Wt}。對(duì)其進(jìn)行一階差分，得到{Yt}，需要通過(guò)ADF識(shí)別其平穩(wěn)性。利用EViews7.2，用ADF方法對(duì)差分序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)ADF=-3.33，而比1%置信水平上的臨界值大，所以應(yīng)該接受θ=0的原假設(shè)，即一階差分所得序列有單位根?？梢詳喽ǎ瑊Yt}仍表現(xiàn)為非平穩(wěn)序列，因此要做第二次差分。第二次差分后，得到{Zt}，如圖2。用同樣的ADF方法檢驗(yàn)，得到ADF=-10.79，比1%、5%和10%置信水平上的臨界值都小，因此{(lán)Zt}為平穩(wěn)序列。

(3)對(duì)變量進(jìn)行季節(jié)差分

繼續(xù)用EViews7.2畫(huà)出{Zt}的自相關(guān)圖，如圖3。可以看出{Zt}仍具有一定的季節(jié)性。顯然這也符合實(shí)際情況。例如，過(guò)年過(guò)節(jié)期間消費(fèi)品零售量會(huì)增大，而年后節(jié)后出現(xiàn)減少的現(xiàn)象。因此對(duì)其進(jìn)行季節(jié)差分(步長(zhǎng)12)，得到{Ut}自相關(guān)函數(shù)圖，如圖4。不難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)兩次差分和一次季節(jié)差分，自相關(guān)函數(shù)只在滯后1階處呈現(xiàn)相關(guān)性。{Ut}是平穩(wěn)序列。

（4）白噪聲檢驗(yàn)

在{Ut}平穩(wěn)的情況下, 進(jìn)一步做{Ut}的白噪聲檢驗(yàn)。依據(jù)Q統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)法，仍根據(jù)圖4，只觀察滯后6，12,18，發(fā)現(xiàn)P值在滯后6,12,18均為0。由于平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性，只要序列時(shí)期足夠長(zhǎng)，自相關(guān)系數(shù)都會(huì)收斂于0。因此，此時(shí)可以拒絕原假設(shè)，即{Ut}不是白噪聲過(guò)程。也就是說(shuō)，此模型可以用ARIMA模型進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。當(dāng)然，直接用EViews7.2中的“simple hypothesis test”，設(shè)置均值為0進(jìn)行檢驗(yàn)，也可以得到相同的結(jié)果。

2.時(shí)間序列模型的建立

(1）模型識(shí)別

在這里，筆者用ARMA模型進(jìn)行識(shí)別，但很多系數(shù)估計(jì)值在顯著性水平下不顯著，即ARMA擬合效果不理想，因此，我們決定用乘法季節(jié)模型對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。

根據(jù)ARIMA(p,d,q)×(P，D，Q)s的形式，我們由上述分析可得d=2，D=1。由于平穩(wěn)的時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都是托尾的，因此該時(shí)間序列適合于ARIMA(p,d,q)×(P，D，Q)s模型。從圖4分析，{Ut}自相關(guān)函數(shù)1階是顯著的，并且從第2階開(kāi)始下降很大，數(shù)值也不太顯著，因此我們先設(shè)定q值為1。{Zt}的偏自相關(guān)函數(shù)1-4階都很顯著，并且從第5階下降很大，因此我們?cè)O(shè)定 p的可能值為1,2,3,4。相應(yīng)的，P=Q=1,。于是對(duì)于序列{Ut}，我們初步建立了ARIMA(p,d,q)×(P，D，Q)s模型，即ARIMA(p,2,q)×(1，1，1)12（p=1，2，3，4）（q=0，1）

(2) 模型估計(jì)

以ARIMA(4,2,1)×(1，1，1)12為例，借助EViews7.2進(jìn)行估計(jì)。其中，常數(shù)項(xiàng)prob值0.8390，AR（2）為0.5174，AR（3）為0.5084和AR（4）為0.8427，其余在5%的顯著性水平下都是不顯著的。

三、模型的診斷和檢驗(yàn)

同理，我們?cè)賮?lái)估計(jì)ARIMA(1,2,0)×(1，1，1)12和ARIMA(2,2,0)×(1，1，1)12 。我們發(fā)現(xiàn)第一個(gè)模型的SAR（12）項(xiàng)系數(shù)估計(jì)值仍不夠理想，為0.1466，而第二個(gè)模型除常數(shù)項(xiàng)的顯著水平為0.6320外，其它解釋變量的系數(shù)估計(jì)值在5%水平下均滿足。

我們?cè)賮?lái)看是否存在一個(gè)更好的模型。我們采用AIC準(zhǔn)則進(jìn)行定階，并從中選擇最優(yōu)模型。但同時(shí)，我們也要兼顧各系數(shù)在檢驗(yàn)水平10%下是否顯著。表5是我們?cè)囼?yàn)的幾個(gè)p, q值的AIC信息值。

雖然很多模型的AIC值更小，但其系數(shù)均存在不同程度的不顯著。因此，我們還是選擇ARIMA(2,2,0)×(1，1，1)12作為最終的模型。

下面我們?cè)龠M(jìn)行異方差檢驗(yàn)。因?yàn)槿艟€性回歸模型存在異方差性，則用傳統(tǒng)的最小二乘法估計(jì)模型，得到的參數(shù)估計(jì)量不是有效估計(jì)量，甚至也不是漸近有效的估計(jì)量；此時(shí)也無(wú)法對(duì)模型參數(shù)的進(jìn)行有關(guān)顯著性檢驗(yàn)。運(yùn)用EViews7.2的white檢驗(yàn)，顯然，不滿足異方差性，模型參數(shù)可以使用。

四、模型的預(yù)測(cè)

將2003年~2011年社會(huì)消費(fèi)品零售總額的數(shù)據(jù)添加到數(shù)據(jù)表中，用EView7.2進(jìn)行預(yù)測(cè)2011年SR值并進(jìn)行比較。

1.首先選擇“dynamic”預(yù)測(cè)，即除了第一個(gè)預(yù)測(cè)值是用解釋變量的實(shí)際值預(yù)測(cè)外，其后各期預(yù)測(cè)值都是采用遞推預(yù)測(cè)的方法。在參數(shù)中，Theil inequality coefficient值為0.0445000，表明預(yù)測(cè)值比較準(zhǔn)確。

2.我們?cè)儆谩皊tatic”預(yù)測(cè)，即用解釋變量的真實(shí)值來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)。由Theil Inequality Coefficient=0.004182得知，預(yù)測(cè)的值比較準(zhǔn)確。由于static預(yù)測(cè)的原理，顯然較dynamic預(yù)測(cè)比，static預(yù)測(cè)更加值得信賴(lài)。

3.比較真實(shí)值與預(yù)測(cè)值。這里用Eviews7.2預(yù)測(cè)2011年1月至12月的值，并與實(shí)際值比較算出相對(duì)誤差：1.46%，0.20%，1.14%，0.52%，0.92%，1.18%，0.99%，0.26%，0.01%，1.24%，0.19%，0.02%。不難看出，2011年1月至12月預(yù)測(cè)的效果較好，相對(duì)誤差均在2%以下，即預(yù)測(cè)值與實(shí)際觀測(cè)值擬合較好。通過(guò)AIC值尋找最優(yōu)模型，把握了序列在預(yù)測(cè)的變化方向和程度。

4.對(duì)2012年預(yù)測(cè)

筆者在寫(xiě)文章時(shí)統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站只公布了1月～2月的總體數(shù)據(jù),3月份和4月份的數(shù)據(jù)，因此我們?cè)谶@里對(duì)2012年1至6月進(jìn)行預(yù)測(cè),1和2月的相對(duì)誤差為1.30%，3月為3.58%，4月為4.34。這里僅供參考。這里由于采用的是dynamic預(yù)測(cè)（只有1,2月的總和值，無(wú)法直接用static預(yù)測(cè)法），不難發(fā)現(xiàn)3月份和4月份的準(zhǔn)確度有所下降。

當(dāng)然在這里，由于有2011年12月及以前的真實(shí)數(shù)據(jù)，因此預(yù)測(cè)2012年1月和2月數(shù)據(jù)的誤差會(huì)很小，因此如果一定要用static預(yù)測(cè)法，筆者個(gè)人認(rèn)為也可以嘗試按2012年1月和2月預(yù)測(cè)值的比例將兩月總和真實(shí)值進(jìn)行分配，并以此作為真實(shí)值來(lái)預(yù)測(cè)3、4月份的數(shù)據(jù)，相信其誤差也不會(huì)很大。但至于科學(xué)性及對(duì)將來(lái)預(yù)測(cè)的影響，還需要進(jìn)一步的考量。

因此，建立的時(shí)間序列乘法季節(jié)ARIMA模型可以較好的擬合和預(yù)測(cè)社會(huì)消費(fèi)品零售總額的波動(dòng)規(guī)律和趨勢(shì)。分析的結(jié)果可作為相關(guān)政府部門(mén)制定政策以及一些零售業(yè)賣(mài)家制定銷(xiāo)售策略的依據(jù)。

五、總結(jié)

對(duì)于2012年，考慮到全球經(jīng)濟(jì)狀況，我國(guó)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，人民生活水平提高，物價(jià)上漲，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)激烈等因素，我國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售總額能將保持上升態(tài)勢(shì)。該模型也應(yīng)該能夠擬合出較準(zhǔn)確的短期預(yù)測(cè)值。但是，從dynamic預(yù)測(cè)不難看出，對(duì)于長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，此模型的準(zhǔn)確度相對(duì)不足?？梢韵胂螅瑢?duì)于預(yù)測(cè)若干年后的社會(huì)消費(fèi)品零售總額，其準(zhǔn)確性將受到質(zhì)疑。但對(duì)于短期預(yù)測(cè)或與其他很多模型相比，乘法季節(jié)ARIMA模型的準(zhǔn)確度還是非?？煽康?。

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