利用若干容器演示統(tǒng)計學中若干規(guī)律及類比與歸納

沈兆益

摘要：在《統(tǒng)計學》教學中，有些需要掌握的經(jīng)濟現(xiàn)象，具有相通的原理。而在教學過程中，這些知識點分布于不同章節(jié)，各章節(jié)側(cè)重于國民經(jīng)濟統(tǒng)計不同方面的知識，未將其中原理相通的知識點串接起來。這些知識點本身存在一定抽象性，且應(yīng)用于統(tǒng)計學的不同方面，對學生理解造成一定的困難。因此，在教學階段性復習中，教師可以特別開設(shè)一節(jié)課，將這些知識的原理與聯(lián)系通過形象的演示展現(xiàn)出來并進行歸納，這有助于學生理解相關(guān)規(guī)律，更好地鞏固相關(guān)知識，并提高學生類比、歸納的能力。

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計學；規(guī)律；能力

在我國職業(yè)學校財經(jīng)專業(yè)課程設(shè)置中，都開設(shè)有“國民統(tǒng)計”或“統(tǒng)計學概論”這一要求較高，較難學習的課程。如在“國民經(jīng)濟統(tǒng)計概論”這一自學考試課程中，因為各個章節(jié)的學習各有方向側(cè)重，未能將一些有著共同規(guī)律的公式歸納整理起來。如在介紹人口數(shù)時，出現(xiàn)了“年末人口數(shù)=年初人口數(shù)+（出生人口數(shù)-死亡人口數(shù)）+（遷入人口數(shù)-遷出人口數(shù)）”。在介紹固定資產(chǎn)的平衡關(guān)系時，出現(xiàn)了“年初固定資產(chǎn)+本年增加固定資產(chǎn)-本年減少固定資產(chǎn)=年末固定資產(chǎn)”。在介紹社會商品購買力時，出現(xiàn)了“本期全部商品購買力=本期形成商品購買力+期初結(jié)余商品購買力=本期實現(xiàn)的商品購買力+期末結(jié)余的商品購買力”，以及“本期全部商品供應(yīng)量=本期形成的商品供應(yīng)量+期初結(jié)余的商品供應(yīng)量=本期已實現(xiàn)的商品供應(yīng)量+期末結(jié)余的商品供應(yīng)量”。類似的具有共同原理的知識分布于“國民經(jīng)濟統(tǒng)計概論”不同章節(jié)，針對的是國民統(tǒng)計中不同方面問題，此類公式本身較長，單純記憶花費時間較多，應(yīng)該更注重總結(jié)規(guī)律，提高教學效果。

在教學過程中，或者在復習過程中，利用一節(jié)專門的課時進行規(guī)律的總結(jié)，對于知識的理解和歸納會有很大的幫助。學生通過觀察教師的演示并思考，從接觸基礎(chǔ)知識“流量”與“存量”，總結(jié)相關(guān)規(guī)律，更好地進行理解，貫以教師引導，對一些相關(guān)的統(tǒng)計學中有聯(lián)系的知識進行歸納，形成連接緊密的知識體系，能令學生更好地領(lǐng)會并掌握這一系列的知識。

這一節(jié)課，將下列知識概括為一個知識體系：①“流量”與“存量”的理解與區(qū)分；②“期初量+新增量-減少量=期末量”類型公式的理解與歸納；③“平均庫存”的理解；④“流量周轉(zhuǎn)次數(shù)”計算的原理與應(yīng)用。

以“流量”與“存量”基礎(chǔ)知識理解與區(qū)分為開始，通過演化得到其他的規(guī)律，而后將各個學習章節(jié)的相關(guān)內(nèi)容歸納出來，更好地將原本分散的內(nèi)容聯(lián)系起來，形成整體，提高學生學習效率。

《統(tǒng)計》課程開設(shè)于職業(yè)學校中職或高職的二三年級，是財經(jīng)類自學考試較晚開設(shè)的考試科目。十七八歲的職校學生對于抽象規(guī)律的總結(jié)已經(jīng)有一定的能力和經(jīng)驗，對于由直觀印象轉(zhuǎn)化為知識較有興趣且喜歡新事物，能夠較快建立知識之間的聯(lián)系并得出規(guī)律。但不愿處理較為復雜的記憶工作，并且對知識規(guī)律的總結(jié)主動性與能力仍較為欠缺，而對于教師已得出的結(jié)論樂于接受，并能主動融入自己的知識結(jié)構(gòu)。

這樣一節(jié)歸納課設(shè)計中，應(yīng)該以展示“流量”與“存量”的內(nèi)容為開頭，注意循序漸進。將最基本的內(nèi)容介紹分析清楚，而后再將相關(guān)公式的規(guī)律通過“流量”與“存量”形象化地展現(xiàn)出來，通過類比，得到規(guī)律，進而對同類知識進行歸納，進一步發(fā)展。在“平均庫存”的理解上，應(yīng)使學生注意求解方式間接與可操作性的原因。在“流量周轉(zhuǎn)”問題中，應(yīng)使學生注意到“流入”與“流出”的區(qū)別。

如何區(qū)分“流量”與“存量”是基本的任務(wù)，但又是較為困難的任務(wù)；對于“流量”與“存量”不斷變化的把握，求解平均“流量”與“存量”也是在講解過程中必須掌握的方面。介紹規(guī)律過程中，這些困難是不可回避的。

通過這節(jié)課的學習，能夠?qū)σ幌盗杏新?lián)系的知識理解更深一步，記憶知識不再停留在字面意義上，更好地運用相關(guān)規(guī)律與結(jié)論處理有關(guān)習題。本節(jié)課并不是單純說教，而是通過使用在統(tǒng)計課上不曾出現(xiàn)過的教具，如能夠控制流出量的漏斗，有刻度的燒杯，已經(jīng)著色的水等實驗器具，進行直觀或通過多媒體進行演示，并總結(jié)規(guī)律。如果使用多媒體演示，可以事先做好視頻，甚至課后共享；若條件允許，也可以現(xiàn)場操作，讓學生動手，進行試驗，進行總結(jié)。通過采用這一“演示”——“總結(jié)”，拓寬學生的思路，牢固掌握知識，并豐富學生的學習經(jīng)歷，加強學生理論聯(lián)系實際的能力。

教學過程如下。

復習“流量”與“存量”。①流量：反映社會經(jīng)濟現(xiàn)象在一段時間內(nèi)發(fā)展過程的總量。強調(diào)特點：各個指標數(shù)值相加有意義，指標值的大小與包括的時間長短有直接關(guān)系。②存量：反映社會經(jīng)濟現(xiàn)象在某一時刻的總量特點。強調(diào)特點：指標不具有可加性，指標值的大小與其時間長短沒有直接聯(lián)系。

演示1：通過漏斗，向一個有刻度的燒杯注水。漏斗也可改為滴定管，可保存水。演示用水事先染色，便于師生觀察。開始時，漏斗或滴定管內(nèi)預(yù)存一定的水，計水量①，燒杯內(nèi)開始時無水。然后向漏斗中均勻倒水，同時漏斗下端出水流入燒杯。一定時間后暫停，此時漏斗中為水量②，可與倒水之前水量不同，此時燒杯內(nèi)水量計為⑴，而后換一個空燒杯進行下一階段演示，繼續(xù)向漏斗中均勻倒水，同時漏斗下端出水流入燒杯。一定時間后暫停，此時漏斗中為水量③，第二個燒杯此時水量計為⑵。

提問：漏斗中流出的水量⑴、⑵，與漏斗中的水量①、②、③，按前后時間段，⑴＋⑵與①＋②＋③哪個有意義，即具有可加性？水量⑴、⑵、①、②、③多少與時間長短是否直接相關(guān)？由此推斷：哪些是流量，哪些是存量。

通過學生討論可以得到如下結(jié)論：首先，漏斗流出的水量在任何一個時間點利用接水的燒杯都能夠記錄，前后兩個時間段內(nèi)流出的水量相加⑴＋⑵，可得整個時間段內(nèi)的流出水量；漏斗內(nèi)的水量前后時點的數(shù)據(jù)相加①＋②＋③則沒有實際的意義。其次，漏斗流出的水量⑴、⑵時間越長就越多，而漏斗內(nèi)的水量①、②、③多少與時間長短沒有直接的關(guān)系。因此，可得漏斗內(nèi)的水量①、②、③為存量，漏斗流出的水量⑴、⑵為流量。

演示2：在漏斗內(nèi)存放一些水，即水量①。用有計量刻度的燒杯倒入一定水，可用燒杯刻度計量出流入的水量②。同時漏斗流出的水量為③，最后存在于漏斗中的為水量④。請學生討論后回答：①、②、③、④間的相等關(guān)系，總水量如何表示。通過討論，可得①+②-③=④或①+②=③+④，總水量為①+②或③+④。教師總結(jié)規(guī)律：期初量+新增量-減少量=期末量；總量=期初量+新增量=減少量+期末量。然后，要求學生舉出此類分布于各章節(jié)的知識公式。例如：年末人口數(shù)=年初人口數(shù)+（出生人口數(shù)-死亡人口數(shù)）+（遷入人口數(shù)-遷出人口數(shù)）；年初固定資產(chǎn)+本年增加固定資產(chǎn)-本年減少固定資產(chǎn)=年末固定資產(chǎn)；本期全部商品購買力=本期形成商品購買力+期初結(jié)余商品購買力=本期實現(xiàn)的商品購買力+期末結(jié)余的商品購買力；本期全部商品供應(yīng)量=本期形成的商品供應(yīng)量+期初結(jié)余的商品供應(yīng)量=本期已實現(xiàn)的商品供應(yīng)量+期末結(jié)余的商品供應(yīng)量。長篇的公式可使用小黑板，多媒體事先準備，以節(jié)約時間。或告知學生書本章節(jié)或頁碼。而后可要求學生舉例進行補充。若學生對于這些知識的了解較好，也可以填空題的面目出現(xiàn)。

演示3-1：漏斗內(nèi)放滿水后，記錄水量a1，使水均勻流出，流空后記錄漏斗內(nèi)水量a2=0。演示3-2：在漏斗內(nèi)無水，記錄水量a1=0。向漏斗倒水，同時漏斗放水，最后存在于漏斗中的為水量a2。演示3-3：漏斗內(nèi)開始時有一定水量a1，向漏斗倒水，同時漏斗放水，最后存在于漏斗中的為水量a2。這三個演示過程中倒水與流水的過程可遮住漏斗，向?qū)W生提問：漏斗中水量倒水過程中的變化不可知，僅知道起初與最后的水量，如何統(tǒng)計這一時間段內(nèi)漏斗中水量的平均值？學生可根據(jù)之前的學習知識回答：平均水量為。之后教師總結(jié)規(guī)律：存量時刻在變化，為統(tǒng)計簡便，間斷計數(shù)的存量平均數(shù)計算用以下方式進行統(tǒng)計：存量的平均數(shù)=。利用這一方式，亦得到多次間斷計數(shù)的存量平均發(fā)展水平。

演示3-4，水流入的速度與從漏斗中流出的速度不停變化，可遮住漏斗，把漏斗的水量看做不停變化的未知量，間隔一定時間，記錄若干次漏斗中各時間點的水量，計為n次，每次的漏斗中水量為ai，(i=1,2,…n)。分時間間隔相等與不等兩種情況，由學生討論：漏斗內(nèi)平均水量的求解方式；若流出的水總量為A，經(jīng)過的總時間為T，則平均流出水量如何求解。

第一種情況：間斷計數(shù)的水量a1、a2、a3…an，記錄間隔時間相等，因計算時認為水量指標值在兩個相鄰時點間變動是均勻的，相鄰兩個時點的水量平均數(shù)為，即任意兩個時點間的水量序時平均數(shù)，再將各時間段的平均水量相加，除以總的時間長度n-1。 a==稱為首末折半法。

第二種情況：時間間隔不相等，相鄰兩個時點的水量平均數(shù)為，然后再以時間間隔長度fi為權(quán)數(shù)與之相乘。計算水量使用序時加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。公式：a=稱為折半加權(quán)平均法。單位時間內(nèi)流出水量為。可知流量平均值（流量的平均發(fā)展水平）a=.由教師總結(jié)并展示上述公式。

演示4-1：漏斗內(nèi)開始時有一定水量a1，向漏斗倒水，同時漏斗放水，保持漏斗內(nèi)的水量不變，流出量與倒入量保持平衡，最后存在于漏斗中的為水量a2=a1，漏斗內(nèi)流出的水量為3a1時，停止倒水與漏斗放水。

演示4-2：漏斗內(nèi)開始時有一定水量a1，向漏斗倒水，同時漏斗放水，最后存在于漏斗中的為水量a2，且與a1有明顯不同，漏斗內(nèi)流出的水量為3，即3倍漏斗內(nèi)平均水量，此時停止倒水與停止漏斗放水。

提問：此兩種情況漏斗內(nèi)的水可視為更新過幾次？

對于第一種情況，學生較易判斷，漏斗中水量不變，而凈流出的水量為漏斗內(nèi)存水量3倍，可視為漏斗內(nèi)水量更新了3次。但第二種情況，需要教師引導，學生判斷：流出的水量是漏斗中平均水量的3倍，進而得到結(jié)論：存量周轉(zhuǎn)次數(shù)=。與這一原理相關(guān)的在各個章節(jié)內(nèi)出現(xiàn)的內(nèi)容，有：流動資產(chǎn)周轉(zhuǎn)次數(shù)=、商品周轉(zhuǎn)次數(shù)=，等?？赏ㄟ^向?qū)W生提問，或由學生舉例，也可以用小黑板，多媒體文檔事先準備，在此時補充。之后，進行之前所提內(nèi)容的總結(jié)。通過演示得到的結(jié)論，可讓學生理解，并要求將各個不同章節(jié)的相關(guān)內(nèi)容整理起來，加深并鞏固。最后進行以下演示，并請學生思考。

演示5-1：不往漏斗中倒水，漏斗中的水由滿至流干。

演示5-2：往漏斗中倒水，漏斗中的水同樣由滿至流干，倒入的水量為漏斗容量的2倍，流出的水量自然為漏斗容量的3倍。

演示5-3：往空漏斗中倒水，漏斗中水不流出，漏斗由全空至裝滿。

演示5-4：往空漏斗中倒水，漏斗中的水同樣由空至裝滿，倒入的水量為漏斗容量的3倍，流出的水量自然為漏斗容量的2倍。

演示5-5：往空漏斗中倒水，但傾倒速度與流出速度相同，且在傾倒過程中，漏斗中始終沒有積水，倒入的水量為漏斗容量的3倍。

提問：在以上5種情況中，漏斗內(nèi)的水可視為更新過幾次？

可在事后告訴學生，5-1視為更新2次，5-2視為更新6次，5-3視為更新0次，5-4視為更新4次，5-5視為更新無數(shù)次。公式為： 存量周轉(zhuǎn)次數(shù)=。

最后，由學生對上述實驗現(xiàn)象進行總結(jié)，并由教師進行提煉，得到相關(guān)知識點的歸納。

進行這一系列的教學演示,有一些注意要點。首先，在教授新課時似乎也可以進行這一教學歸納，但是困難更大。表現(xiàn)為：對于流量和存量，學生如果沒有真正區(qū)分兩者，是很難理解并聯(lián)想到水流的問題中去；初學知識時對于這一系列的規(guī)律運用于國民經(jīng)濟統(tǒng)計的哪些方面并無認識，在之后接觸到時，又將會有對這一系列的演示回憶的困難；包含演示所含規(guī)律的知識分布于較多章節(jié)中，經(jīng)過一段時間的遺忘，對演示的記憶不深刻，回憶也是細碎而不系統(tǒng)的，反而讓學生感覺這一演示很牽強，不會主動進行知識的總結(jié)。所以，在復習課中展示更能有較好的效果。其次，需要教師事先準備儀器，儀器設(shè)備的操作對于教師來說，是個很大的考驗。若在課堂上現(xiàn)場演示，一旦失誤就要重新開始，造成課堂拖沓，因此需要教師在之前進行針對性訓練?；蛘呤孪葘⒀菔九臄z下來，刪去操作失誤的部分，視頻剪輯整理后可以在課堂上播放，并且制作多媒體課件配合講解。作為一堂復習課，這樣做所花的工夫比同類課程多很多，但課件與視頻有一定的保存價值，可重復使用并改進。

通過演示，加強“流量”與“存量”原理的接觸與直觀認識，能拓寬學生思路，使學生更好地理解國民統(tǒng)計各章節(jié)有聯(lián)系的知識。以“流量”與“存量”的區(qū)別與聯(lián)系作為基礎(chǔ)，通過直觀認識進行理解，有系統(tǒng)地將平均存量、流量與存量共同影響下的存量周轉(zhuǎn)次數(shù)等知識貫穿起來。演示的同時，逐步地進行知識歸納與提煉，揭示規(guī)律，鞏固學生的知識，構(gòu)建牢固的知識體系。通過從不同的角度解決原本抽象知識的學習，更能拓寬學生思路，使知識印象鮮明。通過這樣一系列演示教學，一些通過單純逐章復習難以很好掌握的知識點，可以更好地為學生所接受，使學生更有效率地學習。

參考文獻：

[1]婁慶松,曹少華.統(tǒng)計基礎(chǔ)知識[M].北京:高等教育出版社,2010.

[2]黃書田,劉娟.國民經(jīng)濟統(tǒng)計概論[M].北京:中國人民大學出版社,2004.

（無錫高等師范學校）