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    淺談一元二次方程根的判別式的應(yīng)用

    2012-04-29 08:36:37鄭國榮
    關(guān)鍵詞:因式實(shí)根代數(shù)式

    鄭國榮

    一元二次方程根的判別式,是初中數(shù)學(xué)的一個重點(diǎn),中考必考知識點(diǎn),它是解答數(shù)學(xué)問題的重要工具和方法,應(yīng)用十分廣泛,不僅用于方程的解和根的差別,而且作為一種解題方法,在代數(shù)、方程(組)、不等式、函數(shù)、幾何等都有非常廣泛的應(yīng)用 . 下面舉例說明.

    1. 方程中的應(yīng)用

    (1)方程根的判別:一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)……(■)當(dāng)Δ > 0時,方程(■)有二個不相等實(shí)根;當(dāng)Δ = 0 時,方程(■)有二個相等實(shí)根;當(dāng)Δ < 0時,方程(■)沒有實(shí)根.

    例1 k為實(shí)數(shù),討論一元二次方程x2 + (x - k)2 = 16……①根的情況.

    解 將方程①化為關(guān)于x的一元二次方程的一般式:2x2 - 2kx + k2 - 16 = 0,Δ = (-2k)2 - 4 × 2(k2 - 16) = -4k2 + 128.

    當(dāng)Δ = -4k2 + 128 > 0,即-4■ < k < 4■時,方程①有兩個不相等實(shí)根;

    當(dāng)Δ = -4k2 + 128 = 0,即k = -4■或4■時,方程①有兩個相等實(shí)根;

    當(dāng)Δ = -4k2 + 128 < 0,即k < -4■或k > 4■時,方程①沒有實(shí)根.

    (2)求方程的整數(shù)解

    例2 求方程x2 + 3y2 = x - y - 2xy②的整數(shù)解.

    解 把②化成關(guān)于x的一元二次方程的一般式:x2 + (2y- 1)x + 3y2 + y= 0,Δ = (2y - 1)2 - 4 × 1 × (3y2 + y) = -8y + ■2 + 3,因x為實(shí)數(shù),故Δ ≥ 0,即-8y + ■2 + 3 ≥ 0,解得:-■ - ■ ≤ y ≤ ■ - ■,又y為整數(shù),故y = -1和0,易得原方程的整數(shù)解:x = 1,y = -1,x = 2,y = -1,x = 0,y = 0,x = 1,y = 0.

    2. 代數(shù)式中的應(yīng)用

    (1)用于二次三項式ax2 + bx + c(a ≠ 0)……(■)在實(shí)數(shù)內(nèi)因式分解或判別. 若Δ > 0,(■)式在實(shí)數(shù)內(nèi)可分解成兩個不同的一次因式的積;若Δ = 0,(■)式在實(shí)數(shù)內(nèi)可分解為兩個相同的一次因式的積;若Δ < 0,(■)式在實(shí)數(shù)內(nèi)不能分解因式.

    例3 討論二次三項式5x2 - 6x + m③在實(shí)數(shù)內(nèi)因式分解的情況.

    解 Δ = (-6)2 - 4 × 5m = 36 - 20m.

    若Δ > 0,即m < ■時,③ 式在實(shí)數(shù)內(nèi)可分解成兩個不同的一次因式的積;

    若Δ = 0,即m = ■時, ③ 式在實(shí)數(shù)內(nèi)可分解成兩個相同的一次因式的積;若

    Δ < 0,即m > ■時,③式在實(shí)數(shù)內(nèi)不能分解因式.

    (2)用于代數(shù)式求最值

    例4 x為實(shí)數(shù),求代數(shù)式:■……④的最值.

    解 設(shè)■ = y,去分母整理,得

    (y - 6)x2 + (2y -12)x + 2y - 10 = 0.(*)

    Δ = (2y - 12)2 - 4(y - 6)(2y - 10) = -4(y - 5)2 + 4.

    因?yàn)椋鵀閷?shí)數(shù)且■x2 + x + 1 ≠ 0,故Δ ≥ 0,

    即-4(y - 5)2 + 4 ≥ 0,解得:4 ≤ y ≤ 6.

    但y = 6時,方程(*)無意義,所以y ≠ 6,故④式有最小值4.

    3. 不等式中的應(yīng)用

    例5 已知:■a - 2011 b = c……⑤,求證:a2 ≥ 4bc.

    證明 設(shè)■ = x,則⑤式為:xa - x2b = c,即bx2 - ax + c = 0,因x為實(shí)數(shù),故Δ = (-a)2 - 4bc ≥ 0,即:a2 ≥ 4bc.

    4. 二次根式中的應(yīng)用

    例6 已知方程x2 - 2ax + a2 + a - 1 = 0沒有實(shí)數(shù)根,化簡:■ - ■ - a.

    解 因?yàn)榉匠蘹2 - 2ax + a2 + a - 1 = 0沒有實(shí)數(shù)根,

    故Δ = (-2a)2 - 4 × 1 × (a2 + a - 1) < 0,解得:a > 1.

    所以■ - ■ - a= ■ - ■ - a =

    |a - 1| - ■ - a.

    又a > 1,所以a - 1 > 0,■ - a < 0;

    故■ - ■ - a = a - 1 - -■ - a =

    a - 1 + ■ - a = -■.

    5.二次函數(shù)中的應(yīng)用

    (1)判別拋物線y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)……(&)與x軸的交點(diǎn). 若Δ > 0,則拋物線(&)式與x軸有兩個交點(diǎn);若Δ = 0,則拋物線(&)式與x軸有一個交點(diǎn);若Δ < 0,則拋物線(&)式與x軸無交點(diǎn).

    (2)判別拋物線y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)……(☆)與直線y = kx + m……(◇)的位置. 將(☆)與(◇)組織方程組,消去y得關(guān)于x的一元二次方程. 當(dāng)Δ > 0時,拋物線(☆)與直線(◇)相交;當(dāng)Δ = 0時,拋物線(☆)與直線(◇)相切;當(dāng)Δ < 0時,拋物線(☆)與直線(◇)相離.

    只要我們潛心研究,還可發(fā)現(xiàn)一元二次方程差別式在更多領(lǐng)域的應(yīng)用. 聯(lián)農(nóng)業(yè)化學(xué)家普良尼施尼柯夫說:“知識不是某種完備無缺、純凈無瑕、僵化不變的東西. 它永遠(yuǎn)在創(chuàng)新,永遠(yuǎn)在前進(jìn). ” 教學(xué)中,教師只要對學(xué)生認(rèn)真引導(dǎo),培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)精神,學(xué)生就會掌握更多解決數(shù)學(xué)問題的方法,感受學(xué)習(xí)成果的愉悅,提高數(shù)學(xué)興起,也為學(xué)生終身學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)打下良好基礎(chǔ).

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