上海銀行間拆放利率擴散過程的非參數(shù)估計分析

王慶石 韓成棟

摘要：本文使用兩種非參數(shù)估計方法，對上海銀行間拆放利率擴散過程的漂移函數(shù)進行了估計。通過對不同輔助序列選擇下估計結(jié)果的比較，發(fā)現(xiàn)不同期限利率在統(tǒng)計特性上的差異是造成估計結(jié)果不同的主要原因。在估計SHIBOR 1周短端利率的漂移函數(shù)時，短端輔助利率對估計結(jié)果有較大的影響，而長端輔助利率的影響則相對較小。SHIBOR 1個月的短端利率兼有長、短端利率的特點，因而長端輔助利率對其漂移函數(shù)估計結(jié)果的影響最小。

關(guān)鍵詞：SHIBOR；擴散過程；漂移函數(shù)；非參數(shù)估計

中圖分類號：F830.9 文獻標識碼：B

一、引言

短期利率不僅是刻畫利率期限結(jié)構(gòu)動態(tài)過程的重要狀態(tài)變量，同時也是固定收益證券與衍生品定價的重要依據(jù)，因此有許多研究分別提出不同的連續(xù)時間模型來刻畫短期利率的動態(tài)過程。短期利率rt的單變量連續(xù)時間模型一般設定為： drt=μ(rt)dt+σ(rt)dWt（1）

其中μ(rt)和σ(rt)分別是漂移函數(shù)和擴散函數(shù)，Wt是布朗運動（Brownian motion），t∈［0,T］。各種單變量連續(xù)時間模型之間的差異主要在于漂移函數(shù)和擴散函數(shù)的設定不同，主要的模型有Vasicek［16］，Richard［13］，Brennan和Schwartz［4］，Cox，Ingersoll和Ross［7］，Chan，Karolyi，Longstaff和Sauders［5］，Duffie和Kan［8］等等。A唗-Sahalia［2］給出了一個更加一般化的模型，即：

drt=(α0+α1rt+α2r2t+α3r-1t)dt+(β0+β1rt+β2rβ3t)-1/2dWt（2）

上述各種模型都是通過對參數(shù)α0,α1,α2,α3,β0,β1,β2和β3進行不同設定而得到的①，參數(shù)模型的優(yōu)勢在于其容易計算，并且在一些情況下能得到債券和利率衍生品定價公式的封閉解。然而，由于在如何設定模型、如何判斷模型的正確性等方面沒有統(tǒng)一的標準，因而存在模型錯誤設定的風險。例如A唗-Sahalia［2］通過對比在不同參數(shù)設定下利率數(shù)據(jù)的邊際密度和沒有參數(shù)設定下原始數(shù)據(jù)的邊際密度，發(fā)現(xiàn)所有的參數(shù)模型都與實際數(shù)據(jù)不符，因而否定了參數(shù)模型正確性。Backus、Foresi和Zin［3］的研究則表明利率模型的錯誤設定會導致嚴重的定價誤差。

對利率模型的參數(shù)施加較少約束的非參數(shù)模型近來有了較多的發(fā)展和應用。在國外的研究中，A唗-Sahalia［1］使用7天歐元存款利率的日觀測數(shù)據(jù)，先用參數(shù)方法估計漂移函數(shù)，再結(jié)合非參數(shù)密度估計量和漂移函數(shù)的參數(shù)估計量從而獲得擴散函數(shù)的非參數(shù)估計量。研究結(jié)果表明擴散函數(shù)的非參數(shù)估計量與參數(shù)估計量相比具有較大的波動性，并且隨著利率水平的提高其波動幅度也相應增大，因而在整體上是非線性的。Jiang、Knight［12］在Florens-Zmirou［9］等研究的基礎上，提出了漂移函數(shù)和擴散函數(shù)的非參數(shù)核估計量，并將該方法應用于加拿大3個月國債利率的日觀測數(shù)據(jù)。研究結(jié)果表明漂移函數(shù)在利率水平較高或較低時均具有均值回復特性，而在中等利率水平處則比較平緩，不具有均值回復特性。由于擴散函數(shù)的波動幅度較大，整體上也是非線性的且不具有均值回復特性。Stanton［15］使用泰勒級數(shù)展開式和無窮小生成元（infinitesimal generator），得到基于不同階數(shù)的漂移函數(shù)和擴散函數(shù)的近似估計，并且在引入核函數(shù)后得到兩者的非參數(shù)估計量。通過對美國3個月國債收益率日觀測數(shù)據(jù)的研究，發(fā)現(xiàn)漂移函數(shù)在較低和中等的利率水平處比較平緩，而當利率水平較高時則具有較強的均值回復特性，因而整體上是非線性的。擴散函數(shù)則隨著利率水平的上升而逐漸增加，具有非線性特性。

在國內(nèi)的研究中，李和金、鄭興山和李湛［19］使用Florens-Zmirou的方法對國債回購利率進行非參數(shù)估計，研究結(jié)果表明漂移函數(shù)在中等利率水平處比較平緩，而在利率水平較低和較高時均表現(xiàn)出較強的均值回復特性。擴散函數(shù)則隨著利率水平的提高而增加，而且是非線性的。宋永安和陸立強［20］將Florens-Zmirou的非參數(shù)方法，應用于上海證券交易所1個月回購利率R028每日收盤數(shù)據(jù)，其非參數(shù)估計結(jié)果表明漂移函數(shù)整體上是非線性的，在利率水平較高時具有較強的均值回復特性，而在其它利率水平下則比較平穩(wěn)。擴散函數(shù)的波動幅度隨著利率水平的提高而增加，也呈現(xiàn)出非線性的特性。周榮喜等［21］使用Florens-Zmirou的非參數(shù)方法對上海證券交易所回購國債GC001數(shù)據(jù)進行了研究，并且在估計中分別使用了拋物線核函數(shù)與高斯核函數(shù)。研究結(jié)果表明高斯核函數(shù)的估計效果較好，其估計結(jié)果表明漂移函數(shù)整體上十分平緩，在利率水平較高時略微具有波動性；擴散函數(shù)則隨著利率水平的提高而增加，而且是非線性的。胡瑾瑾和陳淼垚［17］使用Stanton［15］和Jiang［11］等研究的方法，計算漂移函數(shù)和擴散函數(shù)的非參數(shù)估計量，通過對上海證券交易所債券市場7天回購利率R007的研究，發(fā)現(xiàn)漂移函數(shù)在利率水平較低和中等利率水平處十分平緩，而在較高的利率水平處呈現(xiàn)較強的均值回復特性，因而在整體上是非線性的。由于擴散函數(shù)則在利率水平較低和中等利率水平處估計值較低，而在利率水平較高時的估計值較高，因而在整體上也是非線性的。

A唗-Sahalia［2］的非參數(shù)檢驗認為參數(shù)模型之所以被拒絕，主要是因為它們對漂移函數(shù)的錯誤設定，即應該將漂移函數(shù)設定為非線性的而不是線性的。這一觀點可以用前面的文獻綜述加以佐證，即絕大部分結(jié)論都認為漂移函數(shù)是非線性的。但是這一結(jié)論也受到了其它研究的質(zhì)疑，比如Chapman和Pearson［6］認為當真實的漂移函數(shù)是線性的時，A唗-Sahalia［2］和Stanton［15］的非參數(shù)估計量也會傾向于得到非線性的漂移函數(shù)，因而漂移函數(shù)具有非線性特征的結(jié)論是不穩(wěn)健的。有鑒于此，Sam和Jiang［14］借鑒Hjort和Glad［10］的研究思路，通過將參數(shù)試點估計量（pilot estimator）與非參數(shù)“修正因子”相結(jié)合來改進函數(shù)的估計。為了估計美國3個月國債利率日觀測數(shù)據(jù)的動態(tài)模型，還使用了期限分別為6個月、1年的國債數(shù)據(jù)和期限分別為3、5、10年的中期國債數(shù)據(jù)。使用新方法所得到的結(jié)果與使用Stanton方法所得到的結(jié)果相比，兩者的漂移函數(shù)在較低和中等的利率水平處均比較平緩，并且在利率水平較高時具有均值回復特性，但是前者的回復程度要明顯減弱許多，因而得出漂移函數(shù)在利率水平較高時只是略微具有均值回復特性的結(jié)論。本文采用Stanton［15］與Sam和Jiang［14］兩種非參數(shù)估計方法，對SHIBOR市場利率擴散過程的漂移函數(shù)進行估計，通過對不同結(jié)果的比較來研究漂移函數(shù)的特性以及不同期限利率之間的相互影響。

二、利率模型的非參數(shù)估計

為了避免對漂移函數(shù)和擴散函數(shù)的錯誤設定，Stanton［15］提出了一種通過使用離散的觀測數(shù)據(jù)對兩個函數(shù)進行近似估計的有效方法?？紤]式（1）中的擴散過程rt，將條件期望Et［f(rt+Δ,t,Δ)］ 用泰勒級數(shù)展開為：Et［f(rt+Δ,t+Δ)］=f(rt,t)+Af(rt,t)Δ+[SX(]1[]2[SX)]A2f(rt,t)Δ2+…+[SX(]1[]n![SX)]Anf(rt,t)Δn+O(Δn+1)（3）

其中A是{rt}的無窮小生成元②，Δ表示相鄰兩個觀測的時間間隔，Et表示以t時刻信息集為條件的條件期望。從式（3）可以得到Af(rt,t)的一階近似，即：Af(rt,t)=[SX(]1[]Δ[SX)]Et［f(rt+Δ,t+Δ)-f(rt,t)］+O(Δ)（4）

當時間間隔為2Δ和3Δ時，還可以得到Af(rt,t)的高階近似。

選擇適當?shù)暮瘮?shù)f，就可以通過式（4）得到漂移函數(shù)和擴散函數(shù)的近似估計。Stanton［15］選取fμ(r,t)≡r,fσ(r,t)≡(r-rt)2， 分別用于估計兩個函數(shù)，所得到的一階近似估計分別為：

μ(rt)=[SX(]1[]Δ[SX)]Et［rt+Δ-rt］+O(Δ)（5）

σ2(rt)=[SX(]1[]Δ[SX)]Et［(rt+Δ-rt)2］+O(Δ)（6）

利用核估計方法，得到式（5）的非參數(shù)估計為：

E［rτ+Δ-rτ｜rτ=r］≈[SX(]∑T-1t=1(rt+Δ-rt)K［(r-rt)/h］[]∑T-1t=1K［(r-rt)/h］[SX)](7)

其中K(z)=2(π)-1/2e-(1/2)z2為正態(tài)核函數(shù)，h為窗寬（window width）。

Sam和Jiang［14］的非參數(shù)方法與現(xiàn)有參數(shù)方法和其它非參數(shù)方法的關(guān)鍵區(qū)別，在于它使用的是由多個期限的利率序列構(gòu)成的面板數(shù)據(jù)，其中第一個利率的漂移函數(shù)是需要估計的，而其它期限的利率序列則用作輔助序列參與估計。該方法借鑒了Hjort和Glad［10］的研究思路，使用參數(shù)試點估計量和非參數(shù)“修正因子”來改進函數(shù)的估計。其優(yōu)點在于，當試點估計量能夠較好地近似條件均值時，“修正因子”是一個平滑的函數(shù)，因而更容易用非參數(shù)方法進行估計。該方法分兩步實施：第一步，同時使用各個期限的利率用以估計漂移函數(shù)的非參數(shù)混合估計量，由于不同期限利率的漂移函數(shù)一般來說是不同的，因而該估計量不是最優(yōu)的；第二步，使用非參數(shù)“修正因子”來糾正混合估計量中存在的偏誤。

定義μp(r)=∑Jj=1μj(r)wj(r)，其中wj(r)=(pj(r))/(∑Jj=1pj(r))。pj(r) 是第j個利率序列的密度函數(shù)，j=1,…,J。μp(r)就是要用各個期限的利率數(shù)據(jù)來估計的漂移函數(shù)的混合估計量，利用它可以得到漂移函數(shù)的估計，即： μ1(r)=μp(r)[SX(]μ1(r)[]μp(r)[SX)]=μp(r)c(r)（8）

在式（8）中，c(r)為“修正因子”，且μp(r)≠0。c(r)的非參數(shù)估計(r)可表示為：

(r)=[SX(]1[]δ[SX)][SX(]∑n-1t=0[SX(]r(1)(t+1)δ-r(1)tδ[]μp(r(1)tδ)[SX)]Kh(r(1)tδ-r)[]∑n-1t=0Kh(r(1)tδ-r)[SX)](9)

在實際應用中，由于μp(r)未知，因此需要用它的一致估計量來代替，即：

(r)=[SX(]1[]δ[SX)][SX(]∑Jj=1∑n-1t=0(r(j)(t+1)δ-r(j)tδ)Khp(r(j)tδ-r)[]

∑Jj=1∑n-1t=0Khp(r(j)tδ-r)[SX)](10)

結(jié)合式（9）與式（10）就可以得到漂移函數(shù)μ1(r)的非參數(shù)估計量1(r)。當使用日觀測數(shù)據(jù)時，式（9）和式（10）中的δ取值為1。

三、實證分析

本文使用上海銀行間拆放利率（SHIBOR）數(shù)據(jù)作為研究對象，該數(shù)據(jù)在國內(nèi)的研究中已逐漸得到了廣泛的應用，同時也具有重要的參考價值。數(shù)據(jù)的樣本期間從2006年10月8日到2011年7月29日，總共有1 206個日觀測值，選擇的利率期限分別為1周、2周、1個月、3個月、6個月、9個月和1年?？紤]到國內(nèi)外還沒有相關(guān)研究使用期限為隔夜的利率數(shù)據(jù)，因而本文選擇估計期限為1周的利率，而其它期限更長的利率則作為輔助利率，期限為1周的利率及其一階差分分別由圖1和圖2給出：

漂移函數(shù)的非參數(shù)估計分別使用Stanton與Sam&Jiang兩種方法，最優(yōu)窗寬按照公式opt=1.06sT-1/5進行計算，其中s為利率序列的標準差，T為樣本觀測個數(shù)。相應的估計結(jié)果分別由圖3與圖4給出：

從圖3中的結(jié)果可以看到漂移函數(shù)在中等利率水平以下的范圍內(nèi)十分平穩(wěn)，幾乎為0。在利率水平較高時則具有均值回復特性，此后又趨于平穩(wěn)。該結(jié)果與國內(nèi)外相關(guān)研究的發(fā)現(xiàn)較為接近。圖4中漂移函數(shù)的非參數(shù)估計結(jié)果是按照Sam&Jiang方法估計的，可以看出與圖3有明顯的差異。在利率水平較低時，漂移函數(shù)十分平穩(wěn)，而在中等利率水平處則表現(xiàn)出波動特征，且波動幅度較大。在利率水平較高時具有均值回復特性，并且均值回復與平穩(wěn)交替出現(xiàn)。

如前文所述，Sam&Jiang方法所構(gòu)造的非參數(shù)估計量通過引入輔助利率來糾正以往方法中存在的偏誤，而圖4中的結(jié)果卻與該方法的初衷相違?？紤]到其它相關(guān)研究中并沒有發(fā)現(xiàn)類似的結(jié)果，因而認為圖中的結(jié)果可能與輔助利率的選擇有關(guān)。在SHIBOR數(shù)據(jù)中，期限為1個月及以下的利率為短端利率，期限為3個月至1年的利率為長端利率。短端利率的波動幅度較大，表現(xiàn)為波動趨勢；長端利率的波動幅度較小，表現(xiàn)為漂移趨勢。當使用長端利率作為短端利率的輔助序列時，兩者在趨勢上的差異對短端利率漂移函數(shù)的估計可能會造成一定的影響。長端利率對1周利率的漂移函數(shù)估計的影響可以通過比較圖4與圖5做初步判斷：

圖5與圖4的區(qū)別在于輔助利率的選擇不同，即只選擇期限為2周和1個月的短端利率作為輔助利率，而沒有將長端利率包括進來。從圖5可以看出在中等利率水平處，雖然漂移函數(shù)的波動幅度有所減小，但是仍然具有明顯的波動特征?？梢婇L端利率只是加劇了波動幅度，并不是造成估計結(jié)果之間差異的主要原因③。此外，從表1所列出的描述統(tǒng)計量中可以發(fā)現(xiàn)，即使短端利率之間也在偏度、峰度和最大值等描述統(tǒng)計量上存在明顯差異。短端利率之間的差異或許是導致漂移函數(shù)波動特征的原因之一，并且其影響主要體現(xiàn)在利率水平中等和較高時，然而這一判斷的正確性還有待進一步的研究與分析④。

為了進一步考察短端利率與長端利率趨勢上的差異對估計結(jié)果的影響，本文還對期限為1個月的利率分別按照兩種非參數(shù)方法進行了估計，其它期限更長的利率則作為輔助利率。從表1可知該期限的利率是所有短端利率中與長端利率在統(tǒng)計特性上最為接近的，并且從走勢圖（本文未給出）上來看，該利率與其它短端利率相同的是它具有波動趨勢，不同的是它與長端利率具有相似的線性趨勢。估計結(jié)果分別在圖6與圖7中給出，圖7中的結(jié)果與圖6的總體上差異不大，只是在中等利率水平處略微具有波動特征，但是波動幅度不大，同時均值回復強度要大一些。因此，長端利率對1個月利率的漂移函數(shù)估計結(jié)果的影響與圖4中的相比要明顯減弱許多，這也跟該利率與長端利率在統(tǒng)計特性上最為接近的觀察相一致?？梢婇L端利率對短端利率的漂移函數(shù)估計結(jié)果的影響取決于兩者在統(tǒng)計特性上的差異程度。當統(tǒng)計特性差異較大時長端利率的影響就大，并且主要體現(xiàn)在中等利率水平處；當統(tǒng)計特性差異較小時長端利率的影響要小很多。

四、結(jié)論

本文使用SHIBOR市場利率數(shù)據(jù)，結(jié)合Stanton與Sam&Jiang兩種非參數(shù)方法，對利率擴散過程的漂移函數(shù)進行了估計。對于期限為1周的利率，在兩種方法下所得到的漂移函數(shù)的非參數(shù)估計結(jié)果存在顯著差異，其中Stanton方法所得到的結(jié)果與以往研究較為接近，而Sam&Jiang方法所得到的結(jié)果表明在中等利率水平處漂移函數(shù)具有較強的波動特征，且在利率水平較高時的均值回復特性上也存在差異。這樣的結(jié)果不但有違Sam&Jiang方法的初衷，而且在以往研究中也沒有與之相似的情形，因而認為導致這一現(xiàn)象的原因在于輔助利率的選擇。通過去掉輔助序列中的長端利率，發(fā)現(xiàn)長端利率只是加劇了中等利率水平處漂移函數(shù)的波動幅度，而短端利率之間在統(tǒng)計特性上的差異或許是導致這一現(xiàn)象的主要原因。為了進一步分析長端利率對短端利率漂移函數(shù)估計值的影響，本文還估計了與長端利率在統(tǒng)計特性上最為接近的1個月利率的漂移函數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩種方法所得到的估計結(jié)果差異很小，表明長端利率對短端利率漂移函數(shù)估計值的影響取決于兩者在統(tǒng)計特性上的差異程度，統(tǒng)計特性差異越大影響就越大，反之亦然。

上述研究從輔助利率對估計結(jié)果的影響出發(fā)，對SHIBOR市場長、短端利率之間的相互影響進行了分析，其結(jié)論對SHIBOR市場利率的選擇與使用具有一定的參考意義。在估計SHIBOR市場利率擴散過程時，由于短端利率之間缺乏一致性，因而最好分別進行研究。長、短端利率在趨勢上的差異會對估計結(jié)果造成一定的影響，期限為1個月的利率兼有長、短端利率的特點，其估計結(jié)果參考意義更大。對于兩種非參數(shù)估計方法，考慮到SHIBOR市場利率數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性，Stanton方法更為適用，今后的研究在利率期限的選擇上應更加謹慎。

注釋：

① 相關(guān)模型的具體設定請參見A唗-Sahalia［2］第403頁的表3。

② 無窮小生成元的定義請參見科森多爾［18］第121頁的定義7.3.1。

③ 如果在估計中只選擇長端利率作為輔助序列，則結(jié)果表明漂移函數(shù)在中低等利率水平處具有低于圖5中的波動幅度，在利率水平較高時具有較強的均值回復特性，而在其它利率水平處則十分平穩(wěn)。

④ Sam和Jiang［14］的表2給出了各個期限利率的描述統(tǒng)計量，從中可以發(fā)現(xiàn)，不同期限的利率在統(tǒng)計特性上均比較接近。

參考文獻：

［1］ A唗-Sahalia, Y., Nonparametric Pricing of Interest Rate Derivative Securities［J］．Econometrica, 1996a, 64(3):527-560.

［2］ A唗-Sahalia, Y., Testing Continuous-Time Models of the Spot Interest Rate［J］．Review of Financial Studies, 1996b, 9(2):385-426.

［3］ Backus, D. K., S. Foresi and S. E. Zin, Arbitrage Opportunities in Arbitrage-Free Models of Bond Pricing［J］．Journal of Business and Economic Statistics, 1998, 16(1):13-26.

［4］ Brennan, M. J. and E. S. Schwartz, A Continuous Time Approach to the Pricing of Bonds［J］．Journal of Banking and Finance, 1979,3(2):133-155.

［5］ Chan, K. C., A. G. Karolyi, F. A. Longstaff and A. B. Sanders, Am Empirical Comparison of Alternative Models of the Short-Term Interest Rate［J］．Journal of Finance, 1992, 47(3):1209-1227.

［6］ Chapman, D. A. and N. D. Pearson, Is the Short Rate Drift Actually Nonlinear［J］．Journal of Finance, 2000, 55(1):355-388.

［7］ Cox, J. C., J. E. Ingersoll and S. A. Ross, A Theory of the Term Structure of Interest Rates［J］．Econometrica, 1985, 53(2):385-407.

［8］ Duffie, D. and R. Kan, A Yield-Factor Model of Interest Rates［J］．Mathematical Finance, 1996, 6(4):379-406.

［9］ Florens-Zmirou, D., On Estimating the Diffusion Coefficient from Discrete Observations［J］．Journal of Applied Probability, 30(4):790-804.

［10］Hjort, N. L. and I. K. Glad, Nonparametric Density Estimation with a Parametric Start［J］．Annals of Statistics, 1995, 23(3):882-904.

［11］Jiang, G. J., Nonparametric Modeling of U.S. Interest Rate Term Structure Dynamics and Implications on the Prices of Derivative Securities［J］．Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1998,33(4):465-497.

［12］Jiang, G. J. and J. L. Knight, A Nonparametric Approach to the Estimation of Diffusion Processes, with an Application to a Short-Term Interest Rate Model［J］．Econometric Theory, 1997, 13(5):615-645.

［13］ Richard, S. F., An Arbitrage Model of the Term Structure of Interest Rates［J］．Journal of Financial Economics, 1978, 6(1):33-57.

［14］Sam, A. G. and G. J. Jiang, Nonparametric Estimation of the Short Rate Diffusion Process from a Panel of Yields［J］．Journal of Financial and Quantitative Analysis, 2009, 44(5):1197-1230.

［15］Stanton, R., A Nonparametric Model of Term Structure Dynamics and the Market Price of Interest Rate Risk［J］．Journal of Finance, 1997, 52(5):1973-2002.

［16］Vasicek, O. A., An Equilibrium Characterization of the Term Structure［J］．Journal of Financial Economics, 1977, 5(2):177-188.

［17］胡瑾瑾，陳淼垚.中國國債市場短期利率模型的參數(shù)與非參數(shù)統(tǒng)計分析［J］．復旦學報（自然科學版），2011，50(1):95-102.

［18］科森多爾.隨機微分方程（第6版）［M］．北京：世界圖書出版公司，2006.

［19］李和金，鄭興山，李湛.非參數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型的實證檢驗［J］．上海交通大學學報，2003，37(4):607-609.

［20］宋永安，陸立強.非參數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)動態(tài)模型及衍生品定價［J］．復旦學報（自然科學版），2008，47(2):213-219.

［21］周榮喜，王曉光，谷成.基于不同核函數(shù)的非參數(shù)與參數(shù)利率模型的國債定價［J］．數(shù)理統(tǒng)計與管理，2011，30(1):136-143.

（責任編輯：關(guān)立新）