自主探索 建構(gòu)模型

張雪梅

數(shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)化，也是人們以數(shù)學(xué)為工具認(rèn)識(shí)具體事物、描述客觀現(xiàn)象的最基本形式. 數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的一種實(shí)踐，即通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化等處理過(guò)程后，將實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)模型. 在教學(xué)中，教師可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生動(dòng)手操作，自主探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí). 下面以教學(xué)“抽屜原理”為例，談?wù)勛约旱淖龇ê腕w會(huì).

【教學(xué)過(guò)程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣，初步感知“抽屜原理”

師：同學(xué)們玩過(guò)撲克牌嗎？（出示撲克牌）取出兩張王牌，還剩幾張？老師請(qǐng)5名同學(xué)來(lái)前面，每人任意抽取1張，老師不看，就知道這5張牌至少有兩張是同花色的. （5名學(xué)生抽牌）老師說(shuō)得對(duì)嗎？老師為什么能作出如此準(zhǔn)確的判斷呢？這其中蘊(yùn)涵著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)原理，就是“抽屜原理”. （板書(shū)課題）

游戲?qū)?，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，引發(fā)了學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生從撲克牌游戲中，初步體驗(yàn)不管怎樣摸，至少有兩張撲克牌花色是相同的，初步感知“抽屜原理”，為進(jìn)一步建模打下基礎(chǔ).

二、動(dòng)手操作，構(gòu)建模型

（一）活動(dòng)1：探討簡(jiǎn)單的“抽屜原理”

師：要把3枝鉛筆放進(jìn)2個(gè)文具盒里，同學(xué)們動(dòng)手?jǐn)[擺看，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我們組發(fā)現(xiàn)把3枝鉛筆放進(jìn)2個(gè)文具盒里，有4種放法：一種是一個(gè)文具盒里放3枝，一個(gè)文具盒里不放；一種是一個(gè)文具盒里不放，一個(gè)文具盒里放3枝；一種是一個(gè)文具盒里放2枝，一個(gè)文具盒里放1枝；一種是一個(gè)文具盒里放1枝，一個(gè)文具盒里放2枝. 學(xué)生邊說(shuō)教師邊板書(shū)：（3，0）， （0，3），（2，1），（1，2）.

師：可以把（3，0），（0，3）看成是一種情況.

生：那么就有兩種情況：（3，0）和（2，1）.

師：從兩種情況中，同學(xué)們還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：總有一個(gè)文具盒里有2枝或3枝鉛筆.

師：不管怎樣放，總有一個(gè)文具盒里至少有幾枝鉛筆？小組里交流一下.

生：不管怎樣放，總有一個(gè)文具盒里至少有2枝鉛筆.

師：“總有”是什么意思？（一定有）那么“至少”是什么意思？（最少）

由于數(shù)據(jù)較小，為學(xué)生自主探索提供了很大的空間，學(xué)生通過(guò)擺一擺，把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)同具體的實(shí)物結(jié)合起來(lái). 學(xué)生在操作、觀察、討論、交流等活動(dòng)中充分感受“3枝鉛筆放進(jìn)2個(gè)文具盒里”的各種情況，理解“不管怎樣放，總有一個(gè)文具盒里至少有2枝鉛筆”的意思.

（二）活動(dòng)2：構(gòu)建“抽屜原理”的一般模型

師：如果把4枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒里，會(huì)有這種結(jié)論嗎？請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手操作，再把你的想法在小組內(nèi)交流.

生：我們發(fā)現(xiàn)有4種情況：（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），從這4種情況中能看出，不管怎樣放，總有一個(gè)文具盒里至少有2枝鉛筆. （生邊說(shuō)邊在展臺(tái)上操作）

生：我只用一種擺法就能得出結(jié)論，我把4枝鉛筆平均放在3個(gè)文具盒里，每個(gè)文具盒里放1枝，還剩下1枝，再把剩下的這枝放進(jìn)其中的一個(gè)文具盒里，所以不管怎樣放，總有一個(gè)文具盒里至少有2枝鉛筆. （生邊說(shuō)邊在展臺(tái)上操作）

生：我用算式的方法也能得出結(jié)論，4 ÷ 3 = 1……1，1 + 1 = 2. （師板書(shū)）這個(gè)算式表示，把4枝鉛筆平均放在3個(gè)文具盒里，每個(gè)文具盒里放1枝，還剩下1枝，再把剩下的這枝放進(jìn)其中的一個(gè)文具盒里，所以不管怎樣放，總有一個(gè)文具盒里至少有2枝鉛筆. （生邊說(shuō)邊在展臺(tái)上操作）

師：同意嗎？（同意）那么把6枝鉛筆放進(jìn)5個(gè)文具盒里呢？還用擺嗎？

生：不用擺了， 6 ÷ 5 = 1……1，1 + 1 = 2.（師板書(shū)）把6枝鉛筆放進(jìn)5個(gè)文具盒里，不管怎樣放，總有一個(gè)文具盒里至少有2枝鉛筆.

師：同學(xué)們?cè)賮?lái)看，把5本書(shū)放進(jìn)2個(gè)抽屜里，會(huì)有怎樣的結(jié)論呢？

生：5 ÷ 2 = 2……1，2 + 1 = 3，不管怎樣放，總有一個(gè)抽屜里至少有3本書(shū).

師：如果把14本書(shū)放進(jìn)3個(gè)抽屜里呢？

生：14 ÷ 3 = 4……2，4 + 2 = 6，總有一個(gè)抽屜里至少有6本書(shū).

生：不對(duì)，應(yīng)該是 4 + 1 = 5，總有一個(gè)抽屜里至少有5本書(shū).

師：到底是4 + 2 = 6還是4 + 1 = 5呢？4人小組討論一下.

生：應(yīng)該是4 + 1= 5. 因?yàn)?4 ÷ 3 = 4 …… 2，表示把14本書(shū)平均放在3個(gè)抽屜里，每個(gè)抽屜放4本，還剩2本，再把剩下的這2本書(shū)分別放進(jìn)2個(gè)抽屜里，所以不管怎樣放，總有一個(gè)抽屜里至少有5本書(shū). （生先在展臺(tái)上操作，然后課件演示）

生：總有一個(gè)抽屜里至少有“商+1”本書(shū)，而不是“商+余數(shù)”本書(shū).

師：這種現(xiàn)象稱(chēng)為“抽屜原理”. 在抽屜原理問(wèn)題中，我們關(guān)鍵要確定“抽屜”和要放的“物體”. 同學(xué)們能總結(jié)一下我們得到的結(jié)論嗎？（先獨(dú)立思考，再小組討論）

生：在有余數(shù)除法算式中，被除數(shù)是物體的數(shù)量，除數(shù)是抽屜的數(shù)量，那么總有一個(gè)抽屜里至少有“商+1”個(gè)物體.

生：物體數(shù) ÷ 抽屜數(shù) = 商……余數(shù)，總有一個(gè)抽屜里至少有“商+1”個(gè)物體.

在有趣的類(lèi)推活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生得出“抽屜原理”的一般模型，讓學(xué)生始終處于主動(dòng)探索、主動(dòng)思考、自主建構(gòu)的主體地位. 學(xué)生通過(guò)操作、觀察、討論、交流真正理解總有一個(gè)抽屜里至少有“商+1”個(gè)物體，從而自主建構(gòu)“抽屜原理”的一般模型.

【我的思考】

1. 用具體的操作，將抽象變?yōu)橹庇^. “總有一個(gè)文具盒里至少有2枝鉛筆”這句話對(duì)學(xué)生而言即抽象又難理解，怎樣讓學(xué)生理解這句話呢？我讓學(xué)生充分地操作，在具體操作中理解“總有”和“至少”， 在具體操作中理解“平均分”是保證“至少”的最好方法. 通過(guò)操作，最直觀地呈現(xiàn)“總有一個(gè)文具盒里至少有2枝鉛筆”這種現(xiàn)象.

2. 注重建模思想的滲透. 本節(jié)課的教學(xué)，有意識(shí)地培養(yǎng)了學(xué)生的“模型”思想. 把課本上的例1、例2放在一起，在學(xué)生自主探索的基礎(chǔ)上，通過(guò)類(lèi)推構(gòu)建“抽屜原理”的一般模型，即物體數(shù) ÷ 抽屜數(shù) = 商……余數(shù)，總有一個(gè)抽屜里至少有“商+1”個(gè)物體，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí).