挖掘基本圖形和結論，提高解題能力

胡愛萍

【摘要】 本文主要結合自己的日常教學對挖掘基本圖形和結論、提高解題能力進行了闡述.

【關鍵詞】 圖形；結論；解題

到了初三，幾何型綜合性的題目也非常多，很多學生拿到綜合題都需要很長的思考時間，甚至都無法下手. 上課老師評講后他也能聽懂，但課后遇到類似的，還是不會做. 作為教師，我覺得怎么教是關鍵 . 我們在實踐中都會遇到一些重要圖形，我們暫且稱它們?yōu)榛緢D形，其中培養(yǎng)學生循基本圖形解決問題的能力是怎么教的方法之一.

要提高學生的解決綜合題的能力，光靠模仿、聽懂是不夠的，我覺得老師例題的解法、證法能讀懂聽懂僅僅是停在最淺層次上，而最重要的是必須知道老師是怎樣想出那個解題方法的，為什么要那樣解題，那么怎樣提高學生的解題能力呢？

數(shù)學解題能力的高低歸根到底就是問題轉化能力的高低，不管解決什么數(shù)學問題，都是通過一步一步轉化，最后歸結為我們所熟悉的問題中去處理. 可以說每個復雜的圖形都是由這些基本圖形構建而成的，而這些正是分析解決復雜圖形的突破口所在，在分析時才有可能把這些復雜圖形分解成若干個基本圖形，用基本圖形的基本結論幫助我們沖突難點進而解決問題. 如果對這些圖形和結論非常熟悉的話，就會很容易找到題目的突破口，解決問題. 下面我舉幾個基本圖形的例子.

基本圖形1：如圖1，AD∥BC，∠BAD的平分線交BC于E，AB = BE（即等腰三角形）.

若題目中出現(xiàn)這三個條件中的兩個必能推得第三個結論，有了這個基本圖形，就可以將復雜綜合題稍加簡化了.

如2010年瀘州的一道中考題：如圖2，在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點，且AE與DE分別平分∠BAD和∠ADC.

（1）求證：AE⊥DE；

（2）設以AD為直徑的半圓交AB于F，連接DF交AE于G，已知CD = 5，AE = 8，求■的值.

分析 由于題中有角平分線和平行的條件，如果看到這個條件，那么第（2）問就有等腰三角形，就很容易把AD邊求出來了（理由：由于AD∥BC，AE是角平分線，容易得∠BAE = ∠BEA，那么AB =BE = CD = 5，同理有CE = CD = 5，容易得出AD = BC = BE + CE = 10）. 再解決后面的問題就順暢多了. 基本圖形2：如圖3，已知Rt△DAE與Rt△EBC，∠A = ∠B = 90°，DE⊥EC，則Rt△DAE與Rt△EBC必相似. 類推到△BAC與△CDE，如果∠A = ∠D = α，∠BCF = α，則△BAC與△CDE必相似，若有一組對應邊相等，則△BAC與△CDE必全等.

如2009年山西省太原市的一道中考題：如圖5，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC = 4 AD = 4■，∠B = 45°.直角三角板含45°角的頂點E在邊BC上移動，一直角邊始終經(jīng)過點A，斜邊與CD交于點F.若△ABE為等腰三角形，則CF的長等于 .

分析 由于題中有等腰梯形，且∠B = 45°，則∠C = 45°，又有∠AEF = 45°，則△BAE與△CEF相似，再由題中條件BC = 4AD = 4■，∠B = 45°，就可求出腰長AB = 3，利用相似可將CF求出.

再如2008年海南省的一道中考題的第（1）問：如圖6，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點（P與A，C不重合），點E在射線BC上，且PE = PB.（1）求證：① PE = PD； ② PE⊥PD.

這道題第①問證全等方法難度不大，用一次全等就可以解決，但是第 ② 問的證法就多了，如證法一：

② （i）當點E在線段BC上（E與B，C不重合）時，

∵ PB = PE，

∴ ∠PBE = ∠PEB，

∴ ∠PEB = ∠PDC，

∴ ∠PEB + ∠PEC = ∠PDC + ∠PEC = 180°，

∴ ∠DPE = 360° - （∠BCD + ∠PDC + ∠PEC） = 90°，

∴ PE⊥PD.

（ii） 當點E與點C重合時，點P恰好在AC中點處，此時，PE⊥PD.

（iii）當點E在BC的延長線上時，如圖7.

∵ ∠PEC = ∠PDC，∠1 = ∠2，

∴ ∠DPE = ∠DCE = 90°，

∴ PE⊥PD.

綜合（i）（ii）（iii），PE⊥PD.

由于點E在射線BC上，第②問分類討論比較麻煩，若要證明PE⊥PD，如果我構造如圖8的基本圖形，證明Rt△EFP ≌ Rt△PGD，那么第 ② 問的證明就會簡化.

（1）證法二：① 過點P作GF∥AB，分別交AD，BC于G，F(xiàn)，如圖8所示.

∵ 四邊形ABCD是正方形，

∴ 四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，

△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.

∴ GD = FC = FP，GP = AG = BF，∠PGD = ∠PFE = 90°.

又∵ PB = PE，

∴ BF = FE，

∴ GP = FE，

∴ △EFP ≌ △PGD （SAS）.

∴ PE = PD.

② ∵ ∠1 = ∠2，

∴ ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3 = 90°.

∴ ∠DPE = 90°.

∴ PE⊥PD.

當然，提高解題能力不是一蹴而就的事，需要有意識地加以訓練，平時注意對基本圖形的識記，并保持適度的訓練，還要掌握方法，積累解題經(jīng)驗，再加上鉆研精神及必勝的決心和毅力，就能夠提高對數(shù)學問題的認識水平，大大地提升解題能力.