三角尺的“大作為”

王恒昌

【摘要】 三角尺是數(shù)學(xué)教師進行教學(xué)和學(xué)生進行數(shù)學(xué)學(xué)習所使用的極為普通的教具、學(xué)具，然而就是這看似不起眼的教具、學(xué)具，卻在數(shù)學(xué)學(xué)習中有“大作為”.本文結(jié)合具體的實例，從五個方面對三角尺在教學(xué)中的作用進行了闡述，從一個側(cè)面展現(xiàn)了廣大數(shù)學(xué)教師的實踐經(jīng)驗和教育智慧.

【關(guān)鍵詞】 三角尺；大作為

一副平平常常的三角尺卻能在幾何教學(xué)中生輝，這是廣大數(shù)學(xué)教師的實踐經(jīng)驗和教育智慧. 細心觀察不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)課堂中、數(shù)學(xué)試卷上以及數(shù)學(xué)課本、教輔資料都有三角尺的蹤影，真可謂妙趣橫生.

一、增強了教學(xué)的趣味性

教學(xué)中，如果教師用學(xué)生習以為常的三角尺“創(chuàng)造”出許多精巧的試題或問題，學(xué)生會有“老樹開新花”的感覺，會大大增強學(xué)生的探究欲望，提高學(xué)習興趣.

例1 將一直角三角尺與直尺如圖1所示放置，下列結(jié)論：（1）∠1 = ∠2；（2）∠3 = ∠4；（3）∠2 + ∠4 = 90°；（4）∠4 + ∠5 = 180°.其中正確的個數(shù)是（ ）.

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

這道題目中，把直角三角尺的兩條直角邊作為兩條平行線（直尺的對邊）的截線，巧妙地將平行線的三條性質(zhì)全部運用其中，創(chuàng)設(shè)了一個很好的問題情景.同時，直角三角尺本身所具有的“直角”這一條件在此題中也發(fā)揮了一定的作用.

例2 一次數(shù)學(xué)活動課上，小華將一副三角尺按不同的方式疊放，編制出了4道有關(guān)角度計算的問題，同學(xué)們興趣盎然.你能分別計算出下列各圖中∠α的度數(shù)嗎？

這道題目，通過一副三角尺構(gòu)造了四個幾何圖形，可以利用三角尺角度的特殊性，考查學(xué)生運用三角形的內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)的能力.值得說明的是，用一副三角尺還可以構(gòu)造許多的幾何圖形，設(shè)計很多的數(shù)學(xué)問題，為學(xué)生開展興趣活動提供豐富的、有趣的素材，使得學(xué)生能夠順其自然地投入到研究性學(xué)習之中，產(chǎn)生數(shù)學(xué)思考，并在研究和探索的過程中培養(yǎng)他們的動手操作能力，提高他們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.

二、凸顯了學(xué)具的功能性

教學(xué)時，教師要引導(dǎo)學(xué)生開發(fā)三角尺的功能，發(fā)揮這個學(xué)具在幾何學(xué)習中的重要作用.在幾何作圖中，通過動手操作，不僅可以培養(yǎng)他們的動手能力，還可以引導(dǎo)他們生成新知識，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律.

如在初學(xué)角的概念時，可讓學(xué)生用一副三角尺畫大于0°且小于180°的不同的角，比一比看誰畫的最多，學(xué)生積極性會很高，并最終通過動手操作和思考，找到一般性的規(guī)律： 最小的角為15°，若按從小到大的順序排列將依次大15°，這樣共可以畫出11個符合條件的角.

再如，在學(xué)習平行線判定時，首先要讓學(xué)生了解用三角尺畫平行線的操作要領(lǐng)，掌握畫法，進而引導(dǎo)學(xué)生得出平行線的判定方法：同位角相等，兩直線平行.

隨著學(xué)習的不斷深入，還可以引導(dǎo)學(xué)生利用三角尺畫出一些特殊的三角形和多邊形，如等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形等.同時，要引導(dǎo)學(xué)生在作圖中進行理性思維，明白作圖方法中所蘊涵的數(shù)學(xué)知識.

三、加強了教學(xué)的直觀性

教學(xué)時，運用三角尺在黑板上演示圖形變換的過程，可以使教學(xué)更加直觀、形象和生動，也有利于學(xué)生形成運動變化的觀點，并在操作過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，積極進行思考和探索，最終找到解決問題的途徑和辦法.

例3 如圖4，有一把直尺AB和一個直角三角尺如圖擺放，直角頂點C在AB上，∠E = 30°，∠DCA = ∠ECB，然后將三角尺繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，那么至少旋轉(zhuǎn) °，可以使DE∥AB.

例4 如圖5，將一個含有30°角的直角三角尺AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1OB1.若點A的縱坐標為1，則點A1的坐標為 .

四、體現(xiàn)試題的簡約性

由于一副三角尺均是特殊的三角形，其所包含的特殊角、邊以及邊角之間的特定關(guān)系，這些都為試題增加了隱含條件，從而可以簡化試題內(nèi)容，使得試題更加簡約.如下兩道例題就是最好的例證.

例5 如圖6，兩個含30°角的相同直角三角尺按圖中位置擺放，使兩條相等的直角邊AC，C1A1共線.

（1）圖中有多少對全等的三角形？請將它們寫出來；

（2）選擇其中的一對全等的三角形進行說明.（△ABC ≌ △A1B1C1除外）

例6 （1）把兩個含有45°角的大小不同的直角三角尺如圖7放置，點D在BC上，連接BE，AD，AD的延長線交BE于點F. 試說明：AF⊥BE.

（2）把兩個含有30°角的大小不同的直角三角尺如圖8放置，點D在BC上，連接BE，AD，AD的延長線交BE于點F. 問：AF與BE是否垂直？并說明理由.

五、提升問題的綜合性

由于借助三角尺進行圖形的平移、旋轉(zhuǎn)等變換，可以構(gòu)造出不同類型的幾何圖形，加之三角尺自身所隱含的條件，無形當中會增加思維的難度，使得試題更具綜合性，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力、空間想象力和思維能力.

例7劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動中，使用了如圖9，10所示的三角尺. 其中圖 9 是含有30°角的直角三角尺，BC = 6 厘米， 圖 ② 是含有45°角的的直角三角尺，DE = 4厘米.圖11 是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個實驗：他將三角尺DEF的直角邊DE與三角尺ABC的斜邊AC重合在一起，并將三角尺DEF沿AC方向移動.在移動過程中，D，E兩點始終在AC邊上（移動開始時點D與點A重合）.

（1）在三角尺DEF沿AC方向移動的過程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F，C兩點間的距離逐漸_________.（填“不變”、“變大”或“變小”）

（2）劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進一步地研究，編制了如下問題：

問題①：當三角尺DEF移動至什么位置，即AD長為多少時，F(xiàn)，C的連線與AB平行？

問題②：當三角尺DEF移動至什么位置，即AD長為多少時，以線段AD，F(xiàn)C，BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形？

問題③：在三角尺DEF的移動過程中，是否存在某個位置，使得∠FCD = 15°？如果存在，求出AD的長度；如果不存在，請說明理由.

請你分別完成上述三個問題的解答過程.

此題是一道操作類問題，綜合了圖形的變換、相似三角形、直角三角形及方程等數(shù)學(xué)知識，并且涉及了分類討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，是一道難得的好題.研究這道題目時，要引導(dǎo)學(xué)生運用運動變化的觀點，牢牢抓住“圖形變化中的不變性”這個關(guān)鍵.