函數(shù)解析式常用求解方法

葛劍

【摘要】求解函數(shù)解析式是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，需引起重視.函數(shù)的解析式是用等式來表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域，定義域是使式子有意義的x的取值范圍，同時(shí)也要注意變量的實(shí)際意義.本文主要幫助大家在深刻理解函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，掌握求解函數(shù)解析式的幾種類型及常用方法，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和解決問題的能力.

【關(guān)鍵詞】解析式；定義域

例1 已知函數(shù)f（x+1）=x+2x，求f（x）.

解析 本題可以通過整體代換（配湊法）或換元法的方法來解決，令x+1=t（t≥1），解得x=t-1，x=（t-1）2，所以x+2x=（t-1）2+2（t-1），f（t）=（t-1）2+2（t-1），即f（x）=x2-1，一定不要忘記定義域{x|x≥1}.所以f（x）=x2-1，（x≥1）.事實(shí)上，已知復(fù)合函數(shù)f[g（x）]的解析式，求函數(shù)f（x）的解析式時(shí)，可用換元法來解決，若g（x）的解析式很簡單或和等式右邊解析式形式很相像時(shí)，可用整體代換（配湊法）的方法解決，如：已知fx+1[]x=x2+1[]x2，求函數(shù)f（x）的解析式，可用整體代換（配湊法）的方法得fx+1[]x=x+1[]x2-2，即f（x）=x2-2，x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）.

例2 （1）設(shè)f（x）是一次函數(shù)，且f[f（x）]=4x+3，求f（x）；

（2）設(shè)二次函數(shù)f（x）的最大值是13，f（3）=f（-1）=5，求f（x）的解析式.

解析 已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等），常用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.根據(jù)函數(shù)的類型設(shè)出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)條件求出待定系數(shù).從而求得函數(shù)解析式.第（1）題可設(shè)函數(shù)的解析式為f（x）=kx+b，（k≠0），代入已知條件即可求出待定系數(shù)k=2，b=1或k=-2，b=-3.從而函數(shù)解析式為f（x）=2x+1或f（x）=-2x-3.第（2）題已知函數(shù)是二次函數(shù)，設(shè)法有三種，一般式f（x）=ax2+bx+c（a≠0），交點(diǎn)式f（x）=a（x-x1）（x-x2），（a≠0），頂點(diǎn)式f（x）=a（x-h）2+k，（a≠0），根據(jù)具體題目選擇恰當(dāng)?shù)脑O(shè)法可簡化計(jì)算.本題可設(shè)函數(shù)的解析式為f（x）=a（x-1）2+13，（a≠0），又f（3）=5，代入可求得參數(shù)a=-2.從而得函數(shù)解析式為f（x）=-2x2+4x+11.

例3 （1）已知函數(shù)y=x2+x與y=g（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，求g（x）的解析式；

（2）設(shè)f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，且f（x）+g（x）=x2+x+2，求f（x）和g（x）的解析式.

解析 對(duì)于第（1）題可作如下思考：函數(shù)的解析式表示函數(shù)圖像上任一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）的x，y間的關(guān)系，如果我們能夠建立某一個(gè)未知函數(shù)圖像上任一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）的x，y間的關(guān)系，就可以求出函數(shù)的解析式了，所以可以用軌跡法求函數(shù)的解析式.本題可設(shè)出所求函數(shù)g（x）圖像上任一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y），根據(jù)題意其關(guān)于點(diǎn)（1，0）的對(duì)稱點(diǎn)（2-x，-y）在函數(shù)y=x2+x上，代入可得函數(shù)g（x）圖像上任一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y間的關(guān)系式，即函數(shù)g（x）的解析式，g（x）=-x2+5x-6.

對(duì)于第（2）題可作如下思考：對(duì)于有特殊結(jié)構(gòu)的方程（自變量互為倒數(shù)、互為相反及函數(shù)奇偶性等）求函數(shù)的解析式常用構(gòu)造方程組方法求函數(shù)解析式，即抓住等式特征對(duì)等式進(jìn)行賦值，以變量換變量又得到一個(gè)方程，聯(lián)立得到方程組，通過解方程組求出解析式.本題可根據(jù)函數(shù)的奇偶性用-x替換方程中的x，可得方程f（x）-g（x）=x2-x+2，此方程與原方程f（x）+g（x）=x2+x+2聯(lián)立可得關(guān)于f（x）和g（x）的方程組，用解方程組的方法求得f（x）和g（x）的解析式，f（x）=x2+2，g（x）=x.

變式 若f（x）=f（-x）x+10，求f（10）.

解析 令x=10，得f（10）=f（-10）×10+10；令x=-10，得f（-10）=f（10）×（-10）+10，聯(lián)立方程消去f（-10），得f（10）=110[]101.

小結(jié)：

求解函數(shù)解析式的幾種類型及常用方法有：換元法、整體代換（配湊法）、待定系數(shù)法、構(gòu)造方程組等，特別值得強(qiáng)調(diào)的是求解函數(shù)的解析式一定要注明函數(shù)的定義域（定義域是R的除外），函數(shù)的定義域是函數(shù)解析式的一部分.

如果已知復(fù)合函數(shù)f[g（x）]的表達(dá)式求f（x）時(shí)，可用換元法，這時(shí)要特別注意新元的取值范圍.如：已知f（1-cosx）=sin2x，求f（x）.用換元法求得f（x）=-x2+2x，注意定義域?yàn)閇0，2].當(dāng)已知表達(dá)式較簡單時(shí)，也可用配湊法.若已知函數(shù)解析式的類型時(shí)，可用待定系數(shù)法.已知抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組消參的方法求出f（x），另外注意軌跡法在求對(duì)稱曲線解析式中的運(yùn)用.