探究一道橢圓“變態(tài)”高考題

羅小斌

橢圓問題一直以來都是高考大題的考查熱點，主要以橢圓的標準方程、幾何性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容為知識載體，其主要思想方法有數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和待定系數(shù)法等，重點考查學生的圖形分析能力、等價轉(zhuǎn)化能力和運算能力.下面我們來看一道今年在網(wǎng)上被評價為“變態(tài)”的高考題：

題目 （2012年江蘇卷第19題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），已知點（1，e）和e，32都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P.

（?。┤鬉F1-BF2=62，求直線AF1的斜率；

（ⅱ）求證：PF1+PF2是定值.

一、試題參考解答

（1）略.（2）（ⅰ）略.

（2）（ⅱ）因為直線AF1與BF2平行，所以PBPF1=BF2AF1，于是PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1，

故PF1=AF1AF1+BF2BF1.

由B點在橢圓上知BF1+BF2=22，從而PF1=AF1AF1+BF2（22-BF2），同理PF2=BF2AF1+BF2（22-AF1）.

因此，PF1+PF2=AF1AF1+BF2（22-BF2）+BF2AF1+BF2·（22-AF1）

=22-2AF1·BF2AF1+BF2.又由①②知AF1+BF2=22（m2+1）m2+2，AF1·BF2=m2+1m2+2.

所以PF1+PF2=22-22=322.因此，PF1+PF2為定值.

點評 上述參考答案解法書寫繁瑣，不符合學生認知特點，在考場中很難正確列出并解下去.

參考解法書寫改進如下：

解 ∵AF1∥BF2，∴∠AF1P=∠F2BP.

又 ∵∠APF1=∠F2PB，∴△APF1∽△F2PB.

∴PF1PB=PAPF2=AF1BF2.設(shè)AF1=p，BF2=q，∴PF1=pp+qBF1，PF2=qp+qAF2.

∵AF1+AF2=22，BF1+BF2=22，

∴PF1+PF2=pp+qBF1+qp+qAF2=pp+q（22-BF2）+qp+q（22-AF1）

=22-p·BF2+q·AF1p+q=22-2pqp+q，以后過程同參考解法.

分析 此題之所以在網(wǎng)絡(luò)上被人評價為“變態(tài)”的問題，顯然是因為其極度繁瑣的運算.在高考考場中，由于緊張的氛圍，學生的運算能力往往得不到正常的發(fā)揮.這就要求我們教師在教學時，要能傳授學生正確轉(zhuǎn)化問題的能力，學生轉(zhuǎn)化能力的高低，直接決定了解題能力的高低.在本題中，如能注意到AF1和BF2平行條件，可轉(zhuǎn)化為兩直線傾斜角相等的結(jié)論，進而選擇傾斜角作為變量來表示邊長，再結(jié)合橢圓的定義，運算量將會減少很多.

二、優(yōu)化解法

解 （1）略.（2）設(shè)∠AF1F2=α（α∈（0，π）），∵AF1∥BF2，

∴∠BF2F1=180°-α，設(shè)AF1=p，BF2=q.

∵AF1+AF2=22，BF1+BF2=22，∴AF2=22-p，BF1=22-q.

∴（22-p）2=p2+4-4pcosα，ぃ22-q）2=q2+4+4qcosα，解得p=12-cosα，q=12+cosα.

（ⅰ）若AF1-BF2=62，則12-cosα-12+cosα=2cosα2-cos2α=62>0，

∴3cos2α+42cosα-23=0且cosα>0，∴cosα=23.

∵α∈（0，π），∴sinα>0，

∴sinα=13，∴k瑼F1=sinαcosα=22.

（ⅱ）前面過程類似.2pqp+q=21p+1q=22+cosα+2-cosα=22，

∴PF1+PF2=22-22=322為定值.

點評 上述解法其實是以直線AF1的傾斜角作為參數(shù)來表示AF1和BF2，通過這種轉(zhuǎn)化，可看到式子簡化很多，運算量也相應減少，這就是數(shù)學中的轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的價值所在.

本題之所以被考生戲稱為“變態(tài)”，其主要原因是考生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力水平的下降，所以，高中教師在平時教學中一定要高度重視對學生運算能力和轉(zhuǎn)換能力的培養(yǎng)，不僅要重視對數(shù)學解題思路的培養(yǎng)，更要舍得花時間讓學生進行獨立的運算，對于一些比較繁瑣的公式，也可讓學生進行運算演練，只有這樣，才能培養(yǎng)出在高考中“眼高手也高”的學生！