運(yùn)用幾何方法證明凸透鏡成像規(guī)律

李越

摘要： 本文通過作圖及一些簡單的幾何推導(dǎo)，證明了凸透鏡成像規(guī)律，通過將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用在物理知識(shí)的學(xué)習(xí)上，幫助學(xué)生輕松掌握凸透鏡成像規(guī)律。

關(guān)鍵詞： 作圖法幾何證明凸透鏡成像規(guī)律

對初二的學(xué)生，如果僅憑在課堂上做實(shí)驗(yàn)而完全清晰記憶凸透鏡成像的規(guī)律就是非常困難的。許多老師會(huì)給學(xué)生一個(gè)表格幫助記憶，但容易混淆，往往效果不佳。我們認(rèn)為學(xué)生不僅應(yīng)該知道一個(gè)知識(shí)點(diǎn)“是什么”還應(yīng)該知道“為什么”。這種學(xué)習(xí)方法能幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，高效理解與掌握所學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)是物理學(xué)習(xí)的工具，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)有助于物理知識(shí)的理解。初二的學(xué)生已經(jīng)掌握一定的幾何證明知識(shí)，通過跨學(xué)科知識(shí)遷移將其運(yùn)用在凸透鏡成像規(guī)律的理解上，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)還能幫助學(xué)生輕松掌握相關(guān)知識(shí)。

1.凸透鏡成像基本原理

凸透鏡成像中兩條特殊的光線是我們運(yùn)用幾何證明的基礎(chǔ)：通過凸透鏡光心的光線傳播方向不變；跟主光軸平行的光線通過凸透鏡后過焦點(diǎn)。

明確描述像的幾個(gè)方面：成像位置，成虛像或?qū)嵪?，放大或縮小的像，正立或倒立的像。

2.作圖與幾何證明

為了更好地運(yùn)用幾何知識(shí)幫助理解凸透鏡成像規(guī)律，我們先處理兩個(gè)特殊位置。（f為一倍焦距長）

2.1一倍焦距

物體放在焦點(diǎn)處，作圖：

證明物體在二倍焦距處成等大倒立的實(shí)像：過B點(diǎn)作BD∥AC交主光軸于點(diǎn)D，連接CD，此時(shí)我們不知道D點(diǎn)是否在二倍焦距處，CD長是否與物體等大，下面給出證明。

第一步：證明所成的像在二倍焦距處

∵AC∥BD

∴∠AOB=∠DBO

∵BO=BO，∠ABO=∠DOB=90°

∴△ABO≌△DBO

∴DO=AB=EO=2f

第二步：證明所成的像是等大的

∵FO=DF，∠OFC=∠DFB，∠FCO=∠FBD

∴△FCO≌△FBD

∴OC=BD

∴四邊形OCDB是平行四邊形

∴CD∥OB

∴∠CDO=∠DOB=90°

∴CD=OB=AE

通過證明我們得到D點(diǎn)在二倍焦距處，并且所成的像為倒立等大的。

這個(gè)數(shù)學(xué)證明過程相對簡單，初二的學(xué)生完全可以理解。通過這樣一種嚴(yán)格的邏輯推導(dǎo)證明，學(xué)生對當(dāng)物體放在二倍焦距處所成像的特征有了深刻的理解，且方便記憶。

2.3一倍二倍焦距之間

物體放在一兩倍焦距之間，作圖：

我們把此時(shí)的成像情況與物體在二倍焦距處所成的像進(jìn)行對比。平行主光軸的光線經(jīng)過凸透鏡方向不變，即BD與BC同向；經(jīng)過光心的光線：AO與主光軸的夾角比AO與主光軸的夾角大，那么AO與BC的交點(diǎn)自然會(huì)向右移到D點(diǎn)，所成的像就在二倍焦距以外，并且是放大倒立的。

2.4二倍焦距以外

物體放在二倍焦距以外，作圖：

此時(shí)的成像情況依然與物體在二倍焦距處所成的像進(jìn)行對比。分析方法同2.3，所成的像就在一倍二倍焦距之間，并且是縮小倒立的。

2.3和2.4的成像情況都與2.2相比，當(dāng)物向右移，像向右移，且放大；當(dāng)物向左移，像向左移，且縮小。顯然，二倍焦距是成放大或縮小像的分界點(diǎn)。

2.5一倍焦距以內(nèi)

物體放在一倍焦距以內(nèi)，作圖：

由圖可知：此時(shí)所成的像是正立的放大的虛像。顯然，一倍焦距是成正立或倒立，虛像或?qū)嵪竦姆纸琰c(diǎn)。

3.總結(jié)

本文通過運(yùn)用簡單的幾何知識(shí)和嚴(yán)格的邏輯推導(dǎo)，證明了物體在不同位置時(shí)凸透鏡成像的規(guī)律。不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)了知識(shí)本身“是什么”，還知道“為什么”，加深其對知識(shí)的理解、掌握與記憶，有助于知識(shí)的應(yīng)用。教學(xué)中我們可以大膽嘗試將不同學(xué)科的知識(shí)運(yùn)用于物理知識(shí)的學(xué)習(xí)中，通過跨學(xué)科知識(shí)遷移激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)學(xué)以致用的樂趣與成就感。

參考文獻(xiàn)：

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