一道中考壓軸題解題方法的課堂探究

董唯佳

【摘要】作為一名初中數(shù)學(xué)教師，解題能力是衡量教師教學(xué)水平的一個標(biāo)準(zhǔn).今年筆者再次執(zhí)教初三，為了提高自己的解題能力，跟上目前中考數(shù)學(xué)的形勢，于是了解了這幾年來的中考壓軸題，特別是浙江省金華市2011年中考的最后一題引起了筆者的注意，并以此題入手，做了一些嘗試，并在今年第二輪復(fù)習(xí)的時候，把這道題目作為主要內(nèi)容上了一次公開課，得到不錯的反響.特此把整個教學(xué)與思考的過程與同行們一起探討.

【關(guān)鍵詞】壓軸題；探究；改編

1.教學(xué)過程

教師：各名同學(xué)，今天我們來進(jìn)行第二輪的專題復(fù)習(xí)，重點講一個題目，大家拿到發(fā)下來的試題，思考8分鐘.

原題再現(xiàn)（刪除原第1，2兩小題）如圖，半圓C在坐標(biāo)系中，P為圓上（除了A，O外）的一點，連接AP并延長使得AP=PB，連接OP，過點B作x軸的垂線，與直線OP交于點D，與x軸交于點G.若△CDG∽△AOP，并且直徑的長度為10，求點G的坐標(biāo).

（8分鐘過后）

教師：思考了8分鐘，你們有些什么思路嗎？

學(xué)生甲：我發(fā)現(xiàn)有幾種情況.

教師：那請問有幾種情況？

學(xué)生甲：3種.

教師：把你在試題紙上畫的內(nèi)容給我們呈現(xiàn)一下.

學(xué)生甲畫出了3種情況：

教師：不錯，想得很周到.可是你會算嗎？

學(xué)生甲：我算了其中的兩種情況，分別是圖2和圖3.

教師：我們來呈現(xiàn)以下你所做的過程.

（1）根據(jù)圖2和圖3，發(fā)現(xiàn)點G在線段OC上有兩種情況，而且兩種情況均成立.

解 如圖2，設(shè)CG=x，

△OCD∽△OAP軨D=1[]2AP=1[]4AB軨G=1[]4AG輝[]x+5=1[]4輝=5[]3軬10[]3，0.

如圖3，△CDG∽△OPA萑鬐為OC中點，則△OGD≌△CGD軴G=CG軬5[]2，0.

教師：真不錯.不過還有一種呢？

學(xué)生甲：算不出，也想不到思路.

這時學(xué)生乙說了.

學(xué)生乙：其實我發(fā)覺，圖1的算法和圖2的算法有些類似，肯定是利用相似三角形來轉(zhuǎn)化，然后再利用方程解決的.

教師：你的猜想很對，那么有沒有哪名同學(xué)可以把相似三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢？

學(xué)生丙：我覺得可以添加輔助線.

教師：很好，請問添在哪里？

學(xué)生丙：連接GP.

教師：你很棒，那么你能算嗎？

這時班級陷入了一片沉默.

筆者只好再進(jìn)行干預(yù).

教師：輔助線添對了，我們接下來需要做的是把相似三角形成比例的邊都轉(zhuǎn)化到一條邊上.

有學(xué)生舉手了.

學(xué)生丁：轉(zhuǎn)化到x軸上.

教師：太好了.大家試試.

經(jīng)過幾分鐘的思考計算，終于有同學(xué)完成了這種情況.呈現(xiàn)結(jié)果如下.

圖 1（2）根據(jù)圖1，點G在線段CA上有兩種情況.

①∠CDG=∠POA.②∠DCG=∠POA.第一種情況成立.第二種情況不成立，因為∠DCG=∠POA+∠ODC>∠POA，無法相似.

假設(shè)CG=x，連接GP.

△CDG∽△AOP∽△ABG軨D[]AB=CG[]AG.

又 CD∥GP蕁鱋CD∽△OGP軨D[]PG=OC[]OG軨D[]0.5AB=OC[]OG軨D[]AB=OC[]2OG軨D[]AB=CG[]AG=OC[]2OG輝[]5-x=5[]2（5+x）2x2+15x-25=0輝1，2=-15±517[]4輝=-15+517[]4軬5+517[]4，0.

教師：到這里為止，大家都做得很好.那么我想問：就三種情況嗎，有沒有別的情況了？或者再仔細(xì)讀一下題目.

學(xué)生甲：題目中說與直線OP相交，所以我剛才還少畫一種情況.

教師：對，這次你思考得很全面，請你呈現(xiàn).

圖4① 圖4②

教師：完全正確，那么你能算嗎？

經(jīng)過大約6分鐘之后，下課鈴聲響了，筆者只好終止了課堂，把這種情況作為課外作業(yè)進(jìn)行思考.課后筆者再次思考了這道題目，得到了一些新的想法.先附上最后一種情況的解法.

（3）根據(jù)圖4，點G在直線AO的延長線上有兩種情況.①∠CDG=∠POA.②∠DCG=∠POA.第一種情況成立.第二種情況不成立，因為∠POA=∠DCG+∠CDO>∠DCG，無法相似.

假設(shè)CG=x，連接GP.

△CDG∽△AOP∽△ABG軨D[]AB=CG[]AG.

又 ∵CD∥GP蕁鱋CD∽△OGP軨D[]PG=CO[]GO軨D[]0.5AB=CO[]GO軨G[]AG=CO[]2GO5+x[]10+x=5[]2x2x2+15x-50=0輝1，2=-5±517[]4輝=-5+517[]4軬5-517[]4，0.

∴綜上所述，共有4個點，分別是

G15+517[]4，0，G210[]3，0，G35[]2，0，G45-517[]4，0.

雖然這道題目利用了一節(jié)課的時間也沒能完成，但筆者也得到了許多的奇思妙想，比如有一名學(xué)生說是否可以假設(shè)某個角，然后用三角函數(shù)來表示邊呢？筆者認(rèn)為很有道理.

2.問題背景

該題從題型來看，屬于近年來中考中常出現(xiàn)的動點問題.從考查的內(nèi)容來看，涵蓋了圓的基本性質(zhì)、相似三角形、方程、坐標(biāo)系、中位線等知識點.從問題的難度設(shè)定來看，體現(xiàn)了從容易到難的跨越.從題目所蘊含的思想性來看，包含了方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.從學(xué)生接受的角度來看，這道題目所用的知識都是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識.

該題的動點情況用畫圖表示比較容易，但是列出方程計算很難，是一道門檻低、出口寬、方法多、完成時間緊、難度高的好題.據(jù)了解整個浙江省金華市中考的情況高分不多.顯然都是因為看到有那么多種情況先把自己嚇怕了，再加上做到這道題目的時候已經(jīng)是考試的后半程，時間的壓力大增，因為很多學(xué)生無法在這紛繁蕪雜的6個相似三角形中找出合適的相似三角形來參與計算，所以這對于學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有著很高的要求.

3.合理簡化，變式運用

這道題目在筆者給學(xué)生上公開課的時候雖然碰到了阻礙，但是不得不說是一道好題，教師在給學(xué)生做類似這類題目的時候要耐心引導(dǎo)，不可操之過急，最開始給學(xué)生思考8～10分鐘，反而是有助于學(xué)生得到一些結(jié)果的，急忙提問學(xué)生只會沒有頭緒.有部分同學(xué)可以完成兩種情況應(yīng)該說是很不錯的結(jié)果了.這堂課結(jié)束后筆者一直在思考，應(yīng)該把這道題簡化一下，讓更多的學(xué)生從這道題目中受益，這才是符合考題人的真正的訴求.

【參考文獻(xiàn)】

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