概率論的第一堂課

竇曉峰　張亮

摘要 概率論為大多數(shù)理工類、經(jīng)管類學(xué)生的必修課，主要研究隨機(jī)現(xiàn)象的客觀規(guī)律，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他專業(yè)課的基礎(chǔ)。筆者將自身的親身授課經(jīng)歷與同仁共享，目的在于提高學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的興趣，激發(fā)學(xué)生的積極性，以期達(dá)到更好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞 概率論 偶然性 正態(tài)分布

中圖分類號(hào)：G642文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

概率論為大多數(shù)理工類、經(jīng)管類學(xué)生的必修課，主要研究隨機(jī)現(xiàn)象的客觀規(guī)律，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他專業(yè)課的基礎(chǔ)。該課程實(shí)踐性很強(qiáng)，且與我們的日常生活、工作、研究息息相關(guān)，通過這門課的深入學(xué)習(xí)，能切實(shí)提高學(xué)生使用所學(xué)知識(shí)解決問題的實(shí)際能力。

傳統(tǒng)的教學(xué)方法以講授為主，優(yōu)點(diǎn)是使學(xué)生能扎實(shí)掌握系統(tǒng)的理論知識(shí)。但對(duì)于一門實(shí)踐性很強(qiáng)的學(xué)科來說，這樣的教學(xué)方法將使學(xué)生的動(dòng)手解決問題的能力稍顯欠缺。怎樣根據(jù)這門課的特點(diǎn)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)其求知欲望，便成為解決這個(gè)問題的關(guān)鍵所在了。

作為一門應(yīng)用極為廣泛的專業(yè)基礎(chǔ)課，培養(yǎng)學(xué)生的興趣是這門課講好的關(guān)鍵。良好的開端是成功的一半，那么怎樣通過第一堂課吸引學(xué)生，使之產(chǎn)生強(qiáng)烈的興趣，為以后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下一個(gè)良好的基礎(chǔ)呢？

筆者是這樣對(duì)待這一堂課的，先以愛因斯坦的名言為開場(chǎng)白，引出偶然性的概念，隨后以豐富有趣的實(shí)例，介紹概率論對(duì)我們每個(gè)人日常生活、學(xué)習(xí)、工作、研究、心理問題的指導(dǎo)意義，目的是引起學(xué)生對(duì)這門課的興趣，指出偶然性無所不在，而概率論正是一門研究偶然性的學(xué)科，并介紹這門課的主要內(nèi)容及其意義作用，最后仍以名人名言作為結(jié)束語，畫龍點(diǎn)睛，讓學(xué)生在愉快的心情中度過第一堂課。以下拋磚引玉，介紹這堂課的主要內(nèi)容，請(qǐng)同仁斧正。

愛因斯坦曾說過：“我不能相信，上帝會(huì)跟宇宙玩擲骰子游戲”，他認(rèn)為，宇宙是由確定性的規(guī)律支配的。物理定律決定了世界的現(xiàn)在和未來。果真這樣嗎？這不是把我們的世界簡(jiǎn)單化為一個(gè)僵死的、機(jī)械的機(jī)體了嗎？如果真是那樣的話，我們豈不是處于一個(gè)異?？植?、單調(diào)僵死的世界中嗎？而實(shí)際上，大家都能感覺到，我們所在的世界充滿了樂趣，充滿了奇妙的難以言述的美。那么又是什么造成了這種美呢？可以認(rèn)為，是偶然性。世界上不存在兩片完全相同的葉子，正是偶然性造成了這個(gè)奇妙的多姿多彩的世界，這些多樣性是美產(chǎn)生的來源。在偶然中世界上出現(xiàn)了生命的萌芽，偶然中生命得到了進(jìn)化發(fā)展，偶然中生命獲得了智慧，偶然中社會(huì)得到了發(fā)展，所有這一切都證明了偶然性創(chuàng)造了美。概率論就是研究關(guān)于偶然性的一門學(xué)科。那么學(xué)習(xí)它又有什么意義呢？要知道，概率論不僅在自然科學(xué)、生命科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中都極為重要，且與我們的生活息息相關(guān)，滲透于我們生活、工作、心理等各個(gè)領(lǐng)域，未來的教育，會(huì)使概率的學(xué)習(xí)進(jìn)一步融入各門學(xué)科和各個(gè)階段，甚至在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也會(huì)看到它的身影。正如很多先賢所說，生活之路取決于概率。

我們?cè)谏钪薪?jīng)常見到各類彩票的發(fā)行，買家從一組數(shù)字中選出若干個(gè)構(gòu)成一個(gè)組合，開獎(jiǎng)時(shí)由搖獎(jiǎng)機(jī)依次開出幾個(gè)數(shù)字，若與買家的選擇相同或部分相同，則可獲得不同級(jí)別的獎(jiǎng)金。為了吸引人氣，主辦者還會(huì)給出前期獲獎(jiǎng)?wù)叩闹歇?jiǎng)號(hào)碼，畫出圖表或走勢(shì)圖，給出一些煞有介事的分析，似乎不管我們誰買個(gè)彩票中個(gè)大獎(jiǎng)都不是一件很困難的事。果真這樣嗎？先來看這樣一個(gè)例子：如果我們?cè)谝惠喭恩蛔拥倪^程中連續(xù)擲出了五次六點(diǎn)，那么下一輪我們?cè)贁S出六點(diǎn)的概率低于。這樣認(rèn)為對(duì)嗎？答案肯定是錯(cuò)誤的。這一輪擲出骰子的結(jié)果跟下一輪或上一輪之間毫無關(guān)系，骰子是沒有記憶的，它不會(huì)記得上次擲出的結(jié)果，下一次擲出六點(diǎn)的結(jié)果仍然是。同樣購(gòu)買彩票時(shí)，不管前面中獎(jiǎng)的彩票是什么樣的結(jié)果，這一期和上一期是毫無關(guān)聯(lián)的，這次我們中得大獎(jiǎng)的概率都是同樣很小很小的，而且從長(zhǎng)遠(yuǎn)來看，即使你曾經(jīng)得過獎(jiǎng)，但如果你仍然堅(jiān)持不停地購(gòu)買下去，結(jié)果卻只能是凈賠不賺，否則誰還會(huì)去發(fā)行彩票呢？知道了這些，你還會(huì)為沒中上大獎(jiǎng)而耿耿于懷嗎？

概率在我們的生活中普遍存在，那么學(xué)好概率對(duì)于我們的學(xué)習(xí)有什么幫助嗎？當(dāng)然有了，它可以幫助我們更好地安排我們的學(xué)習(xí)，讓學(xué)習(xí)更有效率。我們每個(gè)人都有自己的特長(zhǎng)和特短，怎么揚(yáng)長(zhǎng)避短呢？把時(shí)間用在我們不擅長(zhǎng)而又不容易取得成績(jī)的領(lǐng)域嗎？有些同學(xué)正是這樣拼命地把時(shí)間浪費(fèi)在自己的特短上，費(fèi)了大量的精力和時(shí)間，還是沒有學(xué)好，不僅影響了自己的心情，還耽誤了課外活動(dòng)等自己喜愛的一些業(yè)余愛好。得不償失吧？實(shí)際上，人無全人，我們選擇將較少的時(shí)間用于自己不擅長(zhǎng)的一些領(lǐng)域，經(jīng)過努力只要得到合格的成績(jī)就行了；而將大部分精力和時(shí)間選擇用于研究自己感興趣的一些事物，發(fā)揮出自己的特長(zhǎng)，使自己在擅長(zhǎng)的領(lǐng)域綻放出生命的精彩，體現(xiàn)自己的創(chuàng)造力。這個(gè)選擇的過程就是應(yīng)用概率學(xué)知識(shí)的過程。

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，各門學(xué)科也越來越緊密地和數(shù)學(xué)的應(yīng)用與發(fā)展聯(lián)系了起來，可以毫不夸張地說，越來越多的專業(yè)技術(shù)其核心幾乎都是高等數(shù)學(xué)、概率等數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用。有人說，那我研究文學(xué)，跟數(shù)學(xué)沒什么關(guān)系了吧？非也！比如，學(xué)術(shù)界對(duì)古典名著《紅樓夢(mèng)》的研究可謂時(shí)日久矣，很多問題至今還沒搞清楚，而在這方面，概率學(xué)的應(yīng)用給了我們?cè)S多意想不到的驚喜，解開了許多難解之謎。比如，大家都認(rèn)為《紅樓夢(mèng)》為曹雪芹與高鶚兩人合著，是這樣嗎？若是這樣，那么他們又都著的哪些內(nèi)容呢？實(shí)際上，我們每個(gè)人在作文時(shí)，字詞標(biāo)點(diǎn)語氣音韻的應(yīng)用各有其特點(diǎn)，而這些特有的寫作習(xí)慣別人是無法模仿的?，F(xiàn)在有了計(jì)算機(jī)技術(shù)的輔助，我們可以通過每個(gè)作家對(duì)某些特定的字詞應(yīng)用的頻率等等細(xì)節(jié)，對(duì)我們有疑問的章節(jié)（比如《紅樓夢(mèng)》前八十回與后四十回）進(jìn)行比對(duì)，出入較大時(shí)，那就肯定不是一個(gè)人所為的了。而這些，無一不是在應(yīng)用著概率的知識(shí)。

概率論這門課包含了隨機(jī)事件與概率、隨機(jī)變量及分布、多維隨機(jī)變量及分布、隨機(jī)變量的數(shù)字特征、大數(shù)定律和中心極限定理。先行課有高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等相關(guān)課程，后續(xù)有與之聯(lián)系緊密的數(shù)理統(tǒng)計(jì)等其他相關(guān)專業(yè)課程。

在具體章節(jié)中，我們首先對(duì)隨機(jī)事件、概率的基本概念做個(gè)介紹，通過對(duì)一些古典概型概率值的求解方法，引申出條件概率和獨(dú)立性等相關(guān)概念；其次，我們用隨機(jī)變量的取值來表示各種隨機(jī)事件，使這些隨機(jī)事件的概率及其性質(zhì)能夠用高等數(shù)學(xué)的一些方法來進(jìn)行分析和研究；闡述一維隨機(jī)變量和多維隨機(jī)變量的概率分布的具體特點(diǎn)和內(nèi)容；再次，有些時(shí)候，我們還需要研究一些特殊的隨機(jī)事件分布的特征指標(biāo)，比如有些數(shù)據(jù)的平均值和這些數(shù)據(jù)與均值間的偏離程度等，這就導(dǎo)出了隨機(jī)變量的數(shù)字特征；最后，可能單個(gè)隨機(jī)變量的特征或意義不明顯，但大量的隨機(jī)變量卻表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，比如對(duì)大量的隨機(jī)變量而言，其均值可能穩(wěn)定收斂于某個(gè)值附近，大量隨機(jī)變量的和也可能是穩(wěn)定的，并與一種典型的隨機(jī)變量分布——正態(tài)分布有著密切的聯(lián)系，這就體現(xiàn)了大數(shù)定律和中心極限定理的應(yīng)用價(jià)值。

在每章內(nèi)容的講解中，都會(huì)舉出生活中常遇到的、大家感興趣的問題和現(xiàn)象實(shí)例來向大家介紹，還會(huì)借助一些圖表工具來使大家更清楚地理解各個(gè)概念、定理及問題，并展開一些有針對(duì)性的討論，調(diào)動(dòng)大家的學(xué)習(xí)積極性；同時(shí)，在講授中還會(huì)有選擇性地使用多媒體的幫助，使學(xué)生對(duì)各種分布曲線形狀及其變換有一個(gè)形象、動(dòng)態(tài)的感受，加深對(duì)問題的理解程度；對(duì)于某些特定的問題，還會(huì)做一些問卷調(diào)查，及時(shí)反饋大家在學(xué)習(xí)中遇到的困難和問題，在教學(xué)中做到有的放矢；另外，為了進(jìn)一步活躍學(xué)習(xí)熱情和開拓思路，我們還將采取大作業(yè)的方式，使大家對(duì)自己專業(yè)內(nèi)的相關(guān)問題進(jìn)行思考，試圖提出解決辦法借以增強(qiáng)動(dòng)手能力，深化課堂內(nèi)容。

最后，筆者以林群院士在我院所作學(xué)術(shù)報(bào)告的講話“每位同學(xué)只要有興趣，并掌握了適當(dāng)?shù)姆椒?，付出相?yīng)的努力，都能成為一名數(shù)學(xué)家”作為結(jié)尾，鼓勵(lì)大家立志鉆研，學(xué)好這門充滿樂趣和智慧的課程。

參考文獻(xiàn)

[1] 馬丁·加德納.啊哈，原來如此[M].科學(xué)出版社，2008.

[2] 譚永基，俞紅.現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)視角與思維[M].復(fù)旦大學(xué)出版社，2010.

[3] 陳家鼎，劉婉如，汪仁官.概率統(tǒng)計(jì)講義（第三版）[M].高等教育出版社，2004.

[4] Sheldom M. Ross.概率論基礎(chǔ)教程[M].人民郵電出版社，2010.

[5] Ronald E. Walpole， Raymond H. Myers等.理工科概率統(tǒng)計(jì)[M].機(jī)械工業(yè)出版社，2009.