功能關(guān)系中的連接體問(wèn)題

邵偉紅

用一根輕繩或輕桿將兩個(gè)物體進(jìn)行連接就組成了一個(gè)最簡(jiǎn)單的連接體，連接體問(wèn)題是高中物理學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn). 下面我們結(jié)合一些具體實(shí)例，對(duì)連接體問(wèn)題的求解思路和方法進(jìn)行分析.

■ 例1如圖1所示，滑塊A、B的質(zhì)量均為m，A套在固定豎直桿上，A、B通過(guò)轉(zhuǎn)軸用長(zhǎng)度為L(zhǎng)的剛性輕桿連接，B放在水平面上并靠著豎直桿，A、B均靜止. 由于微小的擾動(dòng)，B開(kāi)始沿水平面向右運(yùn)動(dòng). 不計(jì)一切摩擦，滑塊A、B可視為質(zhì)點(diǎn). 在A下滑的過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是（）

A. A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒

B. A運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度為■

C. 在A落地之前輕桿對(duì)B一直做正功

D. 當(dāng)A的機(jī)械能最小時(shí)，B對(duì)水平面的壓力大小為2mg

■ 解析將A、B和剛性輕桿組成一個(gè)系統(tǒng)，由于不計(jì)一切摩擦，因此在A下滑的過(guò)程中，只有重力對(duì)系統(tǒng)做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，選項(xiàng)A正確；當(dāng)A落到最低點(diǎn)時(shí)，速度方向向下，沿桿方向速度分量為零，則B速度為零，由A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，可得mgL=■mv2，v=■，選項(xiàng)B正確；又因?yàn)锽的初速度和末速度均為零，所以B的速度先增大后減小，說(shuō)明輕桿對(duì)B先做正功后做負(fù)功，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)A的機(jī)械能最小時(shí)，B的機(jī)械能最大，則B的動(dòng)能最大，速度最大，加速度為零，B所受的重力和水平面對(duì)B的支持力構(gòu)成一對(duì)平衡力，它們大小相等，由牛頓第三定律可得，B對(duì)水平面的壓力大小為mg，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤. 因此本題正確選項(xiàng)為AB.

■ 例2如圖2所示，將質(zhì)量為2m的重物懸掛在輕繩（繩不可伸長(zhǎng)）的一端，輕繩的另一端系一質(zhì)量為m的有孔小球，小球穿在固定的光滑直桿上，小定滑輪與直桿的距離為d. 現(xiàn)將小球從與定滑輪等高的A處由靜止釋放，不計(jì)一切摩擦. 當(dāng)小球沿直桿下滑距離也為d時(shí)（圖中B處），下列說(shuō)法中正確的是（重力加速度為g）（）

A. 小球釋放后輕繩中的張力等于2mg

B. 小球到達(dá)B處時(shí)，重物上升的高度為（■-1）d

C. 小球在B處的速度與重物上升的速度大小之比為■

D. 小球減小的機(jī)械能等于重物增加的機(jī)械能

■ 解析小球釋放后重物將加速上升，繩中張力大于2mg，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；小球到達(dá)B處時(shí)，繩與桿間夾角為45°，重物上升的高度h=（■-1）d，選項(xiàng)B正確；對(duì)于“繩連接”問(wèn)題，由于繩不可伸長(zhǎng)，可將繩兩端物體的速度沿繩方向和垂直于繩方向進(jìn)行分解，其中兩端物體沿繩方向的速度分量相等，因此在B處，小球沿繩方向的速度分量vcos45°和重物的速度u大小相等，即vcos45°=u，由此可得■=■，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由于不計(jì)一切摩擦，桿對(duì)小球的彈力不做功，所以小球和重物組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，小球減小的機(jī)械能等于重物增加的機(jī)械能，選項(xiàng)D正確. 本題正確選項(xiàng)為BD.

■ 例題3如圖3所示，輕繩一端掛一質(zhì)量m=1 kg的物體，另一端跨過(guò)定滑輪系在質(zhì)量為M=2 kg的圓環(huán)上，圓環(huán)套在豎直固定的光滑細(xì)桿上，定滑輪和細(xì)桿相距l(xiāng)=0.4 m. 現(xiàn)將環(huán)拉至與定滑輪同一水平高度上由靜止釋放，且g=10 m/s2. 繩不可伸長(zhǎng). 求圓環(huán)下降h=0.3 m的過(guò)程中輕繩對(duì)物體m所做的功. （結(jié)果保留兩位小數(shù)）

■ 解析在圓環(huán)下降的過(guò)程中，物體上升，由于繩對(duì)物體的拉力為變力，不能用功的計(jì)算式W=Fs計(jì)算繩對(duì)物體所做的功. 本題選用動(dòng)能定理進(jìn)行求解. 圓環(huán)下降h=0.3 m的過(guò)程中，物體上升高度為h′=■-l=0.1 m，先將圓環(huán)和物體作為系統(tǒng)，可得Mgh-mgh′=■Mv2+■mu2，由于繩不可伸長(zhǎng)，將圓環(huán)的速度v沿繩方向和垂直于繩方向進(jìn)行分解，其中沿繩方向的速度分量與物體的速度大小相等. 設(shè)此時(shí)繩與桿間的夾角為θ，則cos θ=■=0.6，由此可得，vcos θ=u，解得u=■ m/s；再對(duì)物體運(yùn)用動(dòng)能定理，可得W-mgh′=■mu2，將u=■ m/s代入，求得W=■ J≈1.76J.

■ 例4如圖4所示，一輕繩繞過(guò)無(wú)摩擦的輕質(zhì)小定滑輪O與質(zhì)量為5m的砝碼相連，另一端與套在一根固定的光滑的豎直桿上質(zhì)量為m的圓環(huán)相連，直桿上有A、C、B三點(diǎn)，且C為AB的中點(diǎn)，AO與豎直桿的夾角θ=53°，C點(diǎn)與滑輪O在同一水平高度，滑輪與豎直桿相距為L(zhǎng)，重力加速度為g，設(shè)直桿足夠長(zhǎng)，圓環(huán)和砝碼在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)與其他物體相碰. 現(xiàn)將圓環(huán)由A點(diǎn)靜止釋放（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6），試求：

（1） 砝碼下降到最低點(diǎn)時(shí)，砝碼和圓環(huán)的速度大?。?/p>

（2） 圓環(huán)能下滑的最大距離；

（3） 圓環(huán)下滑到B點(diǎn)時(shí)的速度大小.

■ 解析（1） 砝碼下降到最低點(diǎn)時(shí)，速度v1=0，此時(shí)圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，下降高度為hAC=■=■L，砝碼下降高度為Δh=■-L=■L，將圓環(huán)和砝碼作為一個(gè)系統(tǒng)，設(shè)圓環(huán)此時(shí)的速度為v2，由于摩擦不計(jì)，運(yùn)用機(jī)械能守恒，可得mghAC+5mgΔh=■mv22，解之得v2=2■；

（2） 設(shè)圓環(huán)能下滑的最大距離為H，則當(dāng)圓環(huán)下滑到最低點(diǎn)時(shí)，圓環(huán)和砝碼的速度均為零，砝碼上升的高度為

ΔH=■-■

=■-■，

由系統(tǒng)機(jī)械能守恒可知，圓環(huán)重力勢(shì)能的減少量等于砝碼重力勢(shì)能的增加量，即mgH=5mgΔH，解得圓環(huán)能下降的最大高度為H=■L；

（3） 當(dāng)圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，下降的高度為hAB=2×■=■，由對(duì)稱性可知，砝碼回到原位置，設(shè)此時(shí)圓環(huán)的速度為v3，砝碼的速度為v4，可得mghAB=■mv23+■×5mv24；由于繩不可伸長(zhǎng)，將圓環(huán)的速度沿繩方向和垂直于繩方向進(jìn)行分解，其中沿繩方向的速度分量和砝碼的速度大小相等，可得v3cos53°=v4，兩式聯(lián)立，解得圓環(huán)下滑到B點(diǎn)時(shí)的速度v3=■.

■ 例5如圖5所示，豎直平面內(nèi)放一直角桿，桿的水平部分粗糙，豎直部分光滑，兩部分各套有質(zhì)量分別為mA=2 kg和mB=1 kg的小球A和B，A球與水平桿間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，A、B間用不可伸長(zhǎng)的輕繩相連，圖示位置處OA=1.5 m，OB=2 m，g=10 m/s2.

（1） 若用水平力F1沿桿向右拉A，使A由圖示位置向右極緩慢地移動(dòng)0.5 m，則該過(guò)程中拉力F1做了多少功？

（2） 若用水平力F2沿桿向右拉A，使B由圖示位置以1 m/s的速度勻速上升，則B經(jīng)過(guò)圖示位置上升0.5 m的過(guò)程中，拉力F2做了多少功？

■ 解析（1） A向右移動(dòng)sA=0.5 m，B將上升hB=0.5 m，由題中A、B極緩慢移動(dòng)，可忽略A、B速度變化，將A、B作為一個(gè)系統(tǒng)，運(yùn)用動(dòng)能定理，可得外力所做總功為零，即W1-μ（mA+mB）gsA-mBghB=0，解得W1=8 J；

（2） B上升hB=0.5 m，A將向右移動(dòng)sA=0.5 m，由于繩不可伸長(zhǎng)，將繩兩端小球A、B的速度沿繩和垂直于繩方向進(jìn)行分解，其中沿繩方向的速度分量相等，運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)有：vA×■=vB×■，得vA=0.75 m/s，運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)有：vA′×■=vB×■，得vA′=■ m/s；做勻速運(yùn)動(dòng)，將A、B作為一個(gè)系統(tǒng)，運(yùn)用動(dòng)能定理，可得：W2-μ（mA+mB）gsA-mBghB=（■mAvA′2+■mBv2B）-（■mAv2A+■mBv2B），

解得W2≈6.8 J.

■ 總結(jié)對(duì)于用輕桿或輕繩兩端連接兩個(gè)物體組成的連接體問(wèn)題，由于桿或繩不可伸長(zhǎng)，因此將桿或繩兩端連接的物體的速度沿桿或繩方向和垂直于桿或繩方向分解后，沿桿或繩方向的速度分量相等，這是一個(gè)很重要的隱含條件，在求解連接體問(wèn)題時(shí)是非常有用的.